[논문 리뷰] The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces

Dmitry Vaintrob|ArXiv.org|2007. 02. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 비기하적 닫힘 융통성 있는 융통성 있는 다변수에서의 스트링 토폴로지 바탈린-빌코비치(BV) 대수와 그 기본군의 군 대수의 호크시ลด 호모로지 BV 대수 사이의 자연스러운 동형사상을 수립한다. 위상수학적 및 대수적 구성들을 통해 저자들은 고리 호모로지에서의 채스-서울리 BV 연산자가 푸앵카레 대칭을 통해 쌍대화된 콘스 연산자와 대응됨을 증명하고, 고리 곱이 컵 곱으로 대응됨을 보이며, 이는 초등형 표면과 더 일반적인 비기하적 다변수에 대해 양측의 BV 대수적 구조를 완전히 식별한다.

ABSTRACT

In 1999 Chas and Sullivan discovered that the homology H_*(LX) of the space of free loops on a closed oriented smooth manifold X has a rich algebraic structure called string topology. They proved that H_*(LX) is naturally a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra. There are several conjectures connecting the string topology BV algebra with algebraic structures on the Hochschild cohomology of algebras related to the manifold X, but none of them has been verified for manifolds of dimension n>1. In this work we study string topology in the case when X is aspherical (i.e. its homotopy groups π_i(X) vanish for i > 1). In this case the Hochschild cohomology Gerstenhaber algebra HH^*(A) of the group algebra A of the fundamental group of X has a BV structure. Our main result is a theorem establishing a natural isomorphism between the Hochschild cohomology BV algebra HH^*(A) and the string topology BV algebra H_*(LX). In particular, for a closed oriented surface X of hyperbolic type we obtain a complete description of the BV algebra operations on H_*(LX) and HH^*(A) in terms of the Goldman bracket of loops on X. The only manifolds for which the BV algebra structure on H_*(LX) was known before were spheres and complex Stiefel manifolds. Our proof is based on a combination of topological and algebraic constructions allowing us to compute and compare multiplications and BV operators on both H_*(LX) and HH^*(A).

연구 동기 및 목표

• 차원이 >1인 다변수에 대해 스트링 토폴로지 BV 대수와 호크시ลด 코호모로지 BV 대수 사이의 장기적인 추측이 참임을 해결하는 것.
• 구형과 복소 스티펠 맨포ลด의 범위를 초월한 다변수에 대해 고리 호모로지에서의 전체 BV 대수적 구조를 처음으로 명시적으로 계산하는 것.
• 푸앵카레 대칭을 통한 채스-서울리 BV 연산자와 호크시ลด 코호모로지에서의 콘스 연산자 사이의 정확한 대응을 수립하는 것.
• 고리 곱과 게르스텐하버 브라켓이 고리 호모로지에서 호크시ลด 코호모로지에서의 컵 곱과 리 브라켓으로 대응됨을 보여주는 것.
• 비기하적 다변수에 대해 군 대수의 코호모로지와 대수적으로 연결된 스트링 토폴로지 연산의 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 기본군의 군 대수 A = k[π₁(X)]의 호크시ลด 호모로지 HH_*(A)와 고리 호모로지 H_*(LX) 사이의 벡터 공간 동형사상 ρ를 구성한다.
• ρ가 H_*(LX)의 채스-서울리 BV 연산자 Δ를 HH_*(A)의 콘스 연산자 κ로 매핑함을 보인다.
• 쌍대 해상도 구성법을 사용하여 HH_*(A)에서 HH^{n-*}(A)로 가는 푸앵카레 대칭 동형사상 τ를 정의한다.
• τ를 이용해 호크시ลด 코호모로지 HH^{*}(A)에 있는 BV 연산자 λ = τ ∘ κ ∘ τ⁻¹를 유도하고, 이가 게르스텐하버 대수적 구조와 호환됨을 증명한다.
• ξ = τ ∘ ρ: H_*(LX) → HH^{n-*}(A)의 복합사상이 결합 구조와 BV 연산자를 모두 유지하는 동형사상임을 증명한다.
• 고리 곱, 컵 곱, 각각의 BV 구조를 연결하는 다이어그램의 교환성을 보여주어 전체 BV 대수적 동형사상의 확인을 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비기하적 다변수에 대해 H_*(LX)의 스트링 토폴로지 BV 대수와 HH^{*}(A)의 호크시ลด 코호모로지 BV 대수 사이에 자연스러운 동형사상이 존재하는가?
• RQ2 푸앵카레 대칭 하에서 고리 호모로지에서의 채스-서울리 BV 연산자 Δ는 호크시ลด 호모로지에서의 콘스 연산자 κ와 대응되는가?
• RQ3 H_*(LX)의 고리 곱은 동일한 동형사상 하에서 HH^{*}(A)의 컵 곱으로 식별될 수 있는가?
• RQ4 쌍곡형 타입의 닫힘 융통성 있는 표면에 대해, 골드먼 브라켓을 통해 전체 BV 대수적 구조를 명시적으로 묘사할 수 있는가?
• RQ5 동형사상은 스트링 토폴로지와 호크시ลด 코호모로지 사이의 게르스텐하버 브라켓 구조를 유지하는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 비기하적 닫힘 융통성 있는 다변수 X에 대해 스트링 토폴로지 BV 대수 H_*(LX)와 호크시ลด 코호모로지 BV 대수 HH^{*}(A) 사이의 자연스러운 동형사상을 수립한다.
• ξ: H_*(LX) → HH^{n-*}(A)의 동형사상은 결합 구조와 BV 연산자를 모두 유지하며, 이는 전체 BV 대수적 구조가 동형임을 확인한다.
• 동형사상 ρ 하에서 고리 호모로지에서의 채스-서울리 BV 연산자 Δ는 호크시ลด 호모로지에서의 콘스 연산자 κ로 매핑된다.
• 푸앵카레 대칭 동형사상 τ: HH_*(A) → HH^{n-*}(A)는 코호모로지에 있는 BV 연산자 λ = τ ∘ κ ∘ τ⁻¹를 유도하며, 이는 게르스텐하버 대수적 구조와 호환된다.
• 쌍곡형 표면의 경우, H_*(LX)와 HH^{*}(A) 양측의 BV 대수적 연산은 모두 골드먼 브라켓으로 명시적으로 묘사된다.
• 동형사상 ξ는 고리에서의 골드먼 브라켓을 호크시ลด 코호모로지에서의 게르스텐하버 브라켓으로 매핑하며, 리 유형의 구조 간 호환성을 확인한다.