[논문 리뷰] Rationality of the exceptional W-algebras $\mathcal{W}_k(\mathfrak{sp}_4,f_{subreg})$ associated with subregular nilpotent elements of $\mathfrak{sp}_4$

Justine Fasquel|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $k = -3 + p/3$ 및 $k = -3 + p/4$의 적응 가능한 수준에서 예외적인 $χ$-대수 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$의 합리성을 증명하며, 그 간단한 모듈이 완전 가역적임을 확인하고 그 특성들을 계산한다. 이 작업은 이 경우에 대해 Kac-Wakimoto의 추측을 확인하며, 구성군이 모듈 범주 위에 비자명한 작용을 한다는 것을 명시적으로 묘사한다.

ABSTRACT

We prove the rationality of the exceptional W-algebras associated with the simple Lie algebra $\mathfrak{sp}_4$ and subregular nilpotent elements, proving a new particular case of a conjecture of Kac-Wakimoto. Moreover, we describe the simple $\mathcal{W}_k(\mathfrak{sp}_4,f_{subreg})$-modules and compute their characters. We also explicit the nontrivial action of the component group on the set of these simple modules.

연구 동기 및 목표

• 적응 가능한 수준 $k = -3 + p/3$ 및 $k = -3 + p/4$에서 예외적인 $χ$-대수 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$의 합리성을 증명하고, Kac-Wakimoto의 추측을 이 경우에 확인한다.
• 모든 단순한 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-모듈을 분류하고 그 특성을 계산한다.
• 구성군이 단순 모듈의 집합 위에 비자명하게 작용하는 방식을 명시적으로 묘사한다.

제안 방법

• 아핀 카크-무디 대수 $>hat{\mathfrak{sp}}_4$의 적통 최고 가중치 모듈 $χ_k(\lambda^{(s)}_{i,j})$에 드리플란트-쇼콜로프 축소 함자 $H_f$를 적용한다.
• 문헌 [26, 섹션 3]의 특성 공식을 사용하여 축소된 모듈 $H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j}))$의 특성을 계산한다.
• 확장된 아핀 웨일 군 $\widetilde{W}$를 통한 아핀 웨일 군 작용과 변형된 궤도 합을 적용하며, 특히 원소 $y = r_{\alpha_1} r_{\alpha_2} t_{-\varpi_1^\vee}$를 사용한다.
• 관련 다양체가 $q = 3$ 또는 $q = 4$일 때 $L_k(\mathfrak{sp}_4)$의 경우에 부분정규 근원 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$임을 이용하여, 적응 가능한 수준과 예외적 쌍 조건을 연결한다.
• 이sov미즘 $H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j})) \cong L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})$를 통해 단순 모듈과 그 특성을 식별한다.
• 축소가 제로 차수에 집중되어 있음을 증명하여, 즉 $H^l_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j})) = 0$ for $l \neq 0$임을 확인함으로써 모듈 구조를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적응 가능한 수준 $k = -3 + p/3$ 및 $k = -3 + p/4$에서 예외적인 $χ$-대수 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$는 합리적인가?
• RQ2 단순한 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-모듈의 특성은 무엇이며, 드리플란트-쇼콜로프 축소를 통해 어떻게 계산되는가?
• RQ3 부분정규 근원 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$의 구성군은 단순 모듈의 집합 위에 어떻게 비자명하게 작용하는가?

주요 결과

• $k = -3 + p/3$일 때 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$는 $(p,3) = 1$, $p \geq 3$ 조건 하에 합리적이며, $k = -3 + p/4$일 때 $(p,2) = 1$, $p \geq 4$ 조건 하에 합리적이며, 이 경우 Kac-Wakimoto의 추측을 확인한다.
• 모든 단순한 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-모듈은 아핀 $\widehat{\mathfrak{sp}}_4$-모듈의 드리플란트-쇼콜로프 축소의 제로 코homology로 나타난다.
• 각 단순 모듈 $L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})$의 특성은 공식 $\operatorname{ch}_{L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})}(q,z) = \operatorname{ch}_{H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j}))}(q,z)$로 주어지며, 아핀 웨일 군 궤도 합을 통해 명시적으로 계산된다.
• 부분정규 근원 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$의 구성군은 특성 공식의 구조와 웨일 군 원소의 작용을 통해 비자명하게 단순 모듈의 집합 위에 작용한다.
• $k = -3 + p/3$일 때, 단순 모듈은 $L(\xi^{(3)}_{i,j}, \chi^{(3)}_{i,j})$로 표기되며, $1 \leq i \leq j \leq p-1$, $i+j \leq p$ 조건을 만족한다. 특성 공식은 $\operatorname{ch}_{L(\xi^{(3)}_{i,j}, \chi^{(3)}_{i,j})}(q,z) = \frac{q^{\chi^{(3)}_{i,j}+2p-2i-\frac{j}{2}}z^{-\frac{2p}{3}+\frac{1}{2}}}{\prod_{n>0}(1-q^n)^2} \prod_{n>0}(1-q^{n-1}z)^{-1}(1-q^n z^{-1})^{-1} \sum_{w,\eta} \epsilon(wt_{3\eta}) q^{\cdots} z^{\cdots}$로 주어진다.
• $k = -3 + p/4$일 때, 단순 모듈은 $L(\xi^{(2')}_{i,j}, \chi^{(2')}_{i,j})$로 표기되며, 특성 공식은 동일한 $W \times Q^\vee$ 위의 합과 변형된 웨일 군 작용의 구조를 가진다.