[논문 리뷰] Receding-horizon Stochastic Model Predictive Control with Hard Input Constraints and Joint State Chance Constraints

Joel A. Paulson, Edward A. Buehler외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 28.

Advanced Control Systems OptimizationEngineering참고 문헌 48인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 경계가 없는 확률적 외란, 딱딱한 입력 제약 조건, 그리고 연합 상태 확률 제약 조건을 가진 이산 시간 선형 시스템을 위한 후퇴 예측 확률적 최적 제어(SMPC) 프레임워크를 제안한다. 포화된 애파인 외란 피드백 제어 법칙과 캔텔리-체비셰프 부등식을 통한 보수적인 근사 방법을 사용하여, 확률 제약 조건을 볼록 2차원 원형 프로그램(SOCP)으로 변환함으로써, 상태 분산이 유한한 조건에서 재귀적 타당성과 닫힌 루프 안정성을 보장한다.

ABSTRACT

This article considers the stochastic optimal control of discrete-time linear systems subject to (possibly) unbounded stochastic disturbances, hard constraints on the manipulated variables, and joint chance constraints on the states. A tractable convex second-order cone program (SOCP) is derived for calculating the receding-horizon control law at each time step. Feedback is incorporated during prediction by parametrizing the control law as an affine function of the disturbances. Hard input constraints are guaranteed by saturating the disturbances that appear in the control law parametrization. The joint state chance constraints are conservatively approximated as a collection of individual chance constraints that are subsequently relaxed via the Cantelli-Chebyshev inequality. Feasibility of the SOCP is guaranteed by softening the approximated chance constraints using the exact penalty function method. Closed-loop stability in a stochastic sense is established by establishing that the states satisfy a geometric drift condition outside of a compact set such that their variance is bounded at all times. The SMPC approach is demonstrated using a continuous acetone-butanol-ethanol fermentation process, which is used for production of high-value-added drop-in biofuels.

연구 동기 및 목표

• 경계가 없는 확률적 외란과 딱딱한 입력 제약 조건을 가진 선형 시스템을 위한 계산적으로 실현 가능한 SMPC 접근법을 개발하기 위해.
• 확률적 최적 제어에서 연합 확률 제약 조건의 비가공성 문제를 캔텔리-체비셰프 부등식을 통한 보수적인 근사를 통해 해결하기 위해.
• 경계가 없는 외란이 존재하는 상황에서도 확률적 의미에서 재귀적 타당성과 닫힌 루프 안정성을 보장하기 위해.
• 부드러운 확률 제약 조건으로의 이완 없이 딱딱한 입력 제약 조건을 직접 처리할 수 있도록 하여 보수성을 감소시키기 위해.
• 실세계 응용 사례로 연속 아세톤-부탄올-에탄올 발효 공정에 대해 제안된 방법을 적용하여 성능을 입증하기 위해.

제안 방법

• 제어 정책 내에서 외란을 포화시킴으로써 예측 중 피드백을 통합하고 딱딱한 입력 제약 조건을 강제하는 포화된 애파인 외란 피드백 제어 법칙을 사용한다.
• 연합 상태 확률 제약 조건을 캔텔리-체비셰프 부등식을 사용하여 개별 확률 제약 조건으로 보수적으로 근사함으로써 볼록 재구성 가능성을 확보한다.
• 최종로 도출된 최적 제어 문제를 소프트 제약 조건을 갖는 볼록 2차원 원형 프로그램(SOCP)으로 재구성하며, 타당성을 보장하기 위해 정확한 페널티 함수 방법을 적용한다.
• 정확한 페널티 함수를 사용해 근사된 확률 제약 조건을 소프트화함으로써 재귀적 타당성이 보장되며, 보수적인 근사로 인한 타당성 상실을 방지한다.
• 닫힌 루프 안정성은 컴acts 집합 외부에서 기하학적 드리프트 조건을 증명함으로써 확립되며, 이는 시간이 지남에 따라 기대 상태 비용이 감소하고 상태 분산이 유한하게 유지됨을 보여준다.
• 최악의 보수성에 의한 강력한 최적 제어의 한계를 피하고, 불확실성의 경계가 필요로 하지 않기 때문에, 정규 분포 또는 임의의 경계가 없는 외란을 가진 시스템에 적합하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 없는 확률적 외란과 딱딱한 입력 제약 조건을 가진 시스템에 대해 볼록 SMPC 공식화를 유도할 수 있는가?
• RQ2 연합 상태 확률 제약 조건을 어떻게 보수적으로 근사할 수 있을까? 이는 볼록 최적화를 가능하게 하면서도 타당성을 유지하는 데 기여한다.
• RQ3 어떤 제어 정책 구조가 경계가 없는 외란 하에서도 재귀적 타당성과 닫힌 루프 안정성을 모두 보장하는가?
• RQ4 부드러운 확률 제약 조건으로의 이완 없이 딱딱한 입력 제약 조건을 직접 강제로 적용할 수 있는가?
• RQ5 경계가 없는 불확실성이 존재하는 상황에서 제약 조건 이행과 성능 간의 상호 균형을 체계적으로 어떻게 관리할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 SMPC 접근법은 원래의 비볼록이고 해석이 어려운 문제를 볼록 2차원 원형 프로그램(SOCP)으로 변환하여 실시간 계산을 효율적으로 가능하게 한다.
• 정확한 페널티 함수 방법을 적용한 소프트화된 확률 제약 조건을 통해 재귀적 타당성이 보장되며, 각 시간 단계에서 최적화 문제가 항상 해를 갖도록 보장한다.
• 기하학적 드리프트 조건을 통한 닫힌 루프 안정성 확보로, 컴acts 집합 외부에서 기대 상태 비용이 감소하고 상태 분산이 유한하게 유지됨을 증명한다.
• 지정된 허용 범위 내에서 확률적 제약 위반을 허용함으로써, 결정론적 강력한 최적 제어보다 보수성이 감소한 결과를 얻는다.
• 실제 생물생산 응용 분야에서 경계가 없는 외란이 존재하는 연속 아세톤-부탄올-에탄올 발효 공정에 대해 성공적으로 제어함으로써 실용성을 입증한다.
• 포화된 애파인 피드백 제어 법칙의 사용은 경계가 없는 외란 하에서도 딱딱한 입력 제약 조건을 직접 처리할 수 있도록 하며, 이는 이전의 확률적 튜브 및 샘플 기반 접근법의 한계를 극복한다.