[논문 리뷰] Regular multiplier Hopf algebroids II. Integration on and duality of algebraic quantum groupoids

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 43인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기본에 대한 측도에 적응된 준불변 가중치를 고려하여 유한성 가정 없이 정규 승수 호프 대수적 구조에 대한 이중성 이론을 수립한다. 유일한 모듈러 적분의 존재를 증명하고 이중 승수 호프 대수적 구조를 구성함으로써 대수적 설정에서 완전한 이중성 이론을 달성한다.

ABSTRACT

A fundamental feature of quantum groups is that many come in pairs of mutually dual objects, like finite-dimensional Hopf algebras and their duals, or quantisations of function algebras and of universal enveloping algebras of Poisson-Lie groups. The same phenomenon was studied for quantum groupoids in various settings. In the purely algebraic setup, the construction of a dual object was given by Schauenburg and by Kadison and Szlachányi, but required the quantum groupoid to be finite with respect to the base. A sophisticated duality for measured quantum groupoids was developed by Enock, Lesieur and Vallin in the setting of von Neumann algebras. We propose a purely algebraic duality theory without any finiteness assumptions, generalising Van Daele's duality theory of multiplier Hopf algebras and borrowing ideas from the theory of measured quantum groupoids. Our approach is based on the multiplier Hopf algebroids recently introduced by Van Daele and the author, and on a new approach to integration on algebraic quantum groupoids. The main concept are left and right integrals on regular multiplier Hopf algebroids that are adapted to quasi-invariant weights on the basis. Given such integrals, we show that they are unique up to rescaling, admit modular automorphisms, and that left and right ones are related by modular elements. Then, we construct, without any finiteness or Frobenius assumption, a dual multiplier Hopf algebroid with integrals and prove biduality.

연구 동기 및 목표

• 기본이나 대수에 대한 유한성 또는 프로베니우스 조건을 요구하지 않는 순수 대수적 이중성 이론을 개발하기 위해.
• 승수 호프 대수에 대한 Van Daele의 이중성 이론을 정규 승수 호프 대수적 구조의 설정으로 일반화하기 위해.
• 기본 대수에서 준불변 가중치에 적응된 승수 호프 대수적 구조에 대한 적분을 도입하고 연구하기 위해.
• 이 프레임워크 내에서 왼쪽 및 오른쪽 적분의 존재, 유일성 및 모듈러 성질을 확립하기 위해.
• 이중 승수 호프 대수적 구조를 구성하고 이중성 이론을 증명하여 이중 이중 구조가 원래 대상으로 복원됨을 보장하기 위해.

제안 방법

• 기본 대수에서 준불변 가중치에 적응된 정규 승수 호프 대수적 구조에 대해 왼쪽 및 오른쪽 적분을 도입한다.
• 복합 연산자를 사용하여 모듈러 자기 동형을 정의하고, 모듈러 원소를 통해 왼쪽 및 오른쪽 적분을 연결한다.
• 비단위, 비유한 설정으로 일반화된 하르 측도 개념을 적용하여 대수적 양자군의 통합에 새로운 접근을 적용한다.
• 원래 대수의 함수형과 쌍대되는 기능을 사용하여 이중 승수 호프 대수적 구조를 구성하고, 유도된 코승법과 곱셈을 갖춘다.
• 이중성의 호환성을 확보하기 위해 KMS-함수형과 상대적 텐서곱을 통한 함수형의 이중 범주적 관점에 기반한다.
• 충실성과 모듈러 구조를 이용하여 이중 이중 구조가 원래 대수적 구조로 복원됨을 보여 이중성 이론을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본이나 대수에 대한 유한성 가정 없이 대수적 양자군의 이중성 이론을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 기본 가중치에 적응된 정규 승수 호프 대수적 구조에서 적분의 존재와 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 설정에서 왼쪽 및 오른쪽 적분은 모듈러 자기 동형과 모듈러 원소를 통해 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 프로젝티브성 또는 유한성 조건 없이 이중 승수 호프 대수적 구조를 대수적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 일반화된 설정에서 이중성 동형사상이 성립하여 원래 대상이 이중 이중 구조로부터 복원되는가?

주요 결과

• 기본에 대한 준불변 가중치에 적응된 정규 승수 호프 대수적 구조에서 왼쪽 및 오른쪽 적분은 스케일링을 제외하고 유일하다.
• 적분은 모듈러 자기 동형을 갖는다. 이는 승수 호프 대수의 모듈러 이론을 대수적 구조로 일반화한 것이다.
• 왼쪽 및 오른쪽 적분은 모듈러 원소를 통해 연결되며, 이는 왼쪽 및 오른쪽 불변성 간의 비대칭성을 캐릭터라이즈한다.
• 이중 승수 호프 대수적 구조는 명시적으로 구성되며, 원래 대상으로부터 유도된 적분과 코승법을 갖는다.
• 이중성 이론이 성립한다: 원래 대수적 구조의 이중 이중 구조는 자연스럽게 원래 대상과 동형이다. 이는 완전한 이중성 이론을 확립한다.
• 이 구성은 유한성 또는 프로베니우스 조건 없이도 유효하며, 무한차원 대수적 양자군에 대한 이중성 이론을 확장한다.