[논문 리뷰] Relative entropy in $2d$ QFT, finite-size corrections and irreversibility of the RG

José Gaite|arXiv (Cornell University)|1997. 10. 30.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2차원 유클리드 양자장론(QFT)에서 유도된 상대 엔트로피를 보존군(RG)에 따른 비가역성의 척도로 다루며, 이론이 실린더(유한온도 기하학)에 놓일 경우 질량에 대해 유한하고 해석적임을 보여준다. 상대 엔트로피와 1차원 양자 열역학적 엔트로피 사이의 직접적 대응을 수립하고, 스트레스 텐서 성분을 통해 실린더 기하학에서 자몰로드치코프의 c-정리에 유사한 단조성 정리를 제안한다.

ABSTRACT

The UV and IR behavior of the relative entropy for a Euclidean $2d$ QFT is studied for their application as irreversible quantities under the RG, focusing on free-field models. Next we consider the modifications introduced by putting the system in a finite geometry, in particular, the cylinder, interpreted as finite-temperature QFT. We find that the relative entropy is not only finite but analytic in the mass, which acts as coupling constant. In addition, we show that it essentially coincides with the $1d$ quantum thermodynamic entropy. Finally, we find the relation of the previous quantities with the complex components of the stress tensor and thence propose the monotonicity theorem for the relative entropy as the analog of Zamolodchikov's $c$ theorem for the cylinder geometry.

연구 동기 및 목표

• 2차원 유클리드 QFT에서 상대 엔트로피의 UV 및 IR 행동을 분석하여 RG 비가역성의 후보로 삼는다.
• 특히 실린더 위의 단순화된 기하학(유한한 크기 효과)이 상대 엔트로피에 미치는 영향을 연구한다.
• 유한온도 QFT의 기하학적 설정에서 상대 엔트로피와 1차원 양자 열역학적 엔트로피 사이의 연결 고리를 수립한다.
• 상대 엔트로피를 스트레스 텐서의 복소 성분과 연관지워 실린더 기하학에서의 상대 엔트로피에 대한 단조성 정리를 유도한다.

제안 방법

• 자유장 모델을 2차원 유클리드 QFT에서 분석하여 UV 및 IR 영역에서의 상대 엔트로피를 연구한다.
• 유한한 크기 조건을 실린더 위에 이론을 놓음으로써 도입하여, 유한온도 QFT를 모델링한다.
• 질량을 결합 상수로 간주하고 상대 엔트로피를 질량의 함수로 계산하며, 이것이 해석적이고 유한함을 보여준다.
• 유한기하학 설정에서 상대 엔트로피를 정확히 1차원 양자 열역학적 엔트로피로 식별한다.
• 스트레스 텐서의 복소 성분을 분석하고, 그 구조를 이용해 RG 흐름 하에서의 단조성 성질을 도출한다.
• 실린더 기하학에서 상대 엔트로피에 대한 새로운 단조성 정리를 제안하며, 자몰로드치코프의 c-정리에 유사하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 QFT의 UV 및 IR 극한에서 상대 엔트로피는 어떻게 행동하며, 이를 RG 비가역성의 척도로 사용할 수 있는가?
• RQ2 특히 실린더 기하학(유한한 크기)이 상대 엔트로피에 어떤 영향을 미치며, 이를 유한성과 해석성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 1차원 양자 시스템에서 유한온도 조건 하에 상대 엔트로피와 열역학적 엔트로피 사이에 직접적인 대응이 존재하는가?
• RQ4 실린더 기하학에서 스트레스 텐서의 복소 성분은 상대 엔트로피와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 실린더 기하학에서 상대 엔트로피에 대한 단조성 정리를 c-정리에 유사하게 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 QFT가 실린더 위에 놓일 경우, 질량 매개변수에 대해 상대 엔트로피가 유한하고 해석적임이 입증된다. 이는 결합 상수로 간주되더라도 마찬가지이다.
• 실린더 위에서의 상대 엔트로피는 정확히 시스템의 1차원 양자 열역학적 엔트로피와 일치함이 입증된다.
• 상대 엔트로피는 스트레스 텐서의 복소 성분과 직접적으로 관련되어 있으며, 이는 단조성의 기하학적 해석을 가능하게 한다.
• 실린더 기하학에서 상대 엔트로피에 대한 새로운 단조성 정리가 제안되며, 자몰로드치코프의 c-정리와 유사하다.
• 질량에 대한 상대 엔트로피의 해석성과 유한성은, 유한크기 QFT에서의 페르투르바티브 변형에 대해 강건함을 시사한다.