[논문 리뷰] Relative Pro-$\ell$ Completions of Mapping Class Groups

Richard Hain, Makoto Matsumoto|ArXiv.org|2008. 02. 06.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고전적 pro-ℓ 완비화의 일반화로서 사상군의 상대적 pro-ℓ 완비화를 도입하며, 종수 g ≥ 3일 때, 토렐리 군의 pro-ℓ 완비화가 사상군의 상대적 pro-ℓ 완비화에 임베딩되지 않으며, 종수 g 표면의 pro-ℓ 기본군 위에서 토렐리 군의 pro-ℓ 완비화의 작용이 충실하지 않음을 보여준다. 또한 적절한 1차 변형을 통해 상대적 pro-ℓ 완비화 위의 갈루아 표현이 ℓ 이외의 소수에서 비분열적임을 증명한다.

ABSTRACT

Fix a prime number ell. In this paper we develop the theory of relative pro-ell completion of discrete and profinite groups -- a natural generalization of the classical notion of pro-ell completion -- and show that the pro-ell completion of the Torelli group does not inject into the relative pro-ell completion of the corresponding mapping class group when the genus is at least 3. As an application, we prove that when g > 2, the action of the pro-ell completion of the Torelli group T_{g,1} on the pro-ell fundamental group of a pointed genus g surface is not faithful. The choice of a first-order deformation of a maximally degenerate stable curve of genus g determines an action of the absolute Galois group G_Q on the relative pro-ell completion of the corresponding mapping class group. We prove that for all g all such representations are unramified at all primes eq ell when the first order deformation is suitably chosen. This proof was communicated to us by Mochizuki and Tamagawa.

연구 동기 및 목표

• 이산군 및 프로파일린 군의 상대적 pro-ℓ 완비화 이론을 고전적 pro-ℓ 완비화의 일반화로 발전시키기.
• 토렐리 군의 pro-ℓ 완비화가 사상군의 상대적 pro-ℓ 완비화에 임베딩되는지 조사하기.
• 종수 g 표면의 pro-ℓ 기본군 위에서 토렐리 군의 pro-ℓ 완비화의 작용이 g ≥ 2일 때 충실하지 않음을 확립하기.
• 적절한 1차 변형을 통해 사상군의 상대적 pro-ℓ 완비화 위의 갈루아 표현이 소수 ≠ ℓ에서 비분열적임을 증명하기.
• 유니포텐트 완비화 및 합동부분군 성질에 관한 결과를 상대적 pro-ℓ 설정으로 확장하기.

제안 방법

• 연속적이고 밀도가 높은 호모모르피즘 ρ: Γ → P를 갖는 군 Γ에 대해, P로 가는 연속적이고 밀도가 높은 호모모르피즘 φ: Γ → Gφ를 고려하고, ker(ρφ)가 pro-ℓ 군이 되는 조건을 만족하는 Gφ에 대한 극한으로서 Γ^(ℓ),ρ를 정의한다.
• 자연스러운 호모모르피즘 ρ: Γg,n,𝐫 → Sp_g(ℤℓ)를 사용하여 사상군의 상대적 pro-ℓ 완비화 Γg,n,𝐫^(ℓ)를 정의한다.
• 레벨 m 부분군에 대해 Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ)의 핵을 분석하여, g ≥ 3일 때 중심이 되며 ℤℓ의 복사본을 포함함을 보인다.
• 스펙트럴 시퀀스와 코homological 기법을 적용하여 g ≥ 1일 때 H¹(Γg,n+r, ℤ)가 영이 되며, 갈루아 관성군에서 유도된 호모모르피즘이 자명함을 유도한다.
• 형식적 디스크 위의 ℙ¹-_bundle를 통해 탄성 기저점을 사용하여 ℤ 위에서 최대로 열린 안정 곡선의 변형을 구성함으로써, 상대 완비화 위의 갈루아 작용을 정의한다.
• 정확한 수열 0 → ℤℓ(1)^r → Γg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n+r^(ℓ) → 1을 사용하여 r > 0인 경우를 r = 0인 경우로 환원하고, 코homology 위에서 유도된 호모모르피즘의 자명성으로 갈루아 작용의 비분열성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 g ≥ 3일 때, 토렐리 군의 pro-ℓ 완비화가 사상군의 상대적 pro-ℓ 완비화에 임베딩되는가?
• RQ2 종수 g 표면의 pro-ℓ 기본군 위에서 토렐리 군의 pro-ℓ 완비화의 작용이 g ≥ 2일 때 충실한가?
• RQ3 적절한 1차 변형을 선택할 경우, 사상군의 상대적 pro-ℓ 완비화 위의 갈루아 표현이 소수 ≠ ℓ에서 비분열적인가?
• RQ4 비자명한 심플렉틱 이미지를 가진 사상군의 맥락에서 상대적 pro-ℓ 완비화는 고전적 pro-ℓ 완비화를 어떻게 정교화하는가?
• RQ5 레벨 m 부분군에 대해 Tg,n,𝐫^(ℓ)에서 Γg,n,𝐫[m]^(ℓ)로 가는 사상의 핵의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• g ≥ 3 및 임의의 소수 ℓ에 대해, Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ)의 핵은 Tg,n,𝐫^(ℓ)에서 중심이며 ℤℓ의 복사본을 포함한다.
• Tg,n,𝐫가 ℓ-정규일 경우, 정확한 수열 0 → ℤℓ → Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) → Sp_g(ℤℓ)[m] → 1이 존재한다.
• g ≥ 2일 때, 점이 있는 종수 g 표면의 pro-ℓ 기본군 위에서 토렐리 군의 pro-ℓ 완비화 Tg,1^(ℓ)의 작용은 충실하지 않다.
• 모든 g ≥ 1 및 r > 0에 대해, Gℚ의 관성군 Ip는 ℓ이 아닌 소수 p에서 Γg,n,𝐫^(ℓ) 위에서 자명하게 작용하며, 갈루아 표현의 비분열성을 증명한다.
• 사상군의 상대적 pro-ℓ 완비화는 비자명하며 군의 구조를 반영하지만, 고전적 pro-ℓ 완비화는 Γg(여기서 g ≥ 3일 때)가 완전군이므로 사라진다.
• ℤ 위에서 형식적 디스크 위의 ℙ¹-_bundle를 통해 탄성 기저점을 구성함으로써, 갈루아 작용이 ℓ 이외에서는 비분열적임을 보장한다.