[논문 리뷰] Representation Homology, Lie Algebra Cohomology and Derived Harish-Chandra Homomorphism

Yuri Berest, Giovanni Felder외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 35인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 Koszul 대칭을 통해 결합 대수와 리 대수의 표현 스킴 사이의 깊은 호모로지적 이중성과 리 대수 (코)호모로지 사이의 관계를 설정하며, 고전적 표현 이론을 일반화하는 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상의 준동형 추측을 도입한다. 유도된 표현 스킴의 호모로지가 커런트 리 코알제브라의 Chevalley-Eilenberg 호모로지와 동형임을 증명함으로써, Macdonald 항등식에 대한 호모로지적 해석을 제공하고 고전적 Harish-Chandra 제약 사상의 유도된 설정으로의 확장을 이룬다.

ABSTRACT

We study the derived representation scheme DRep_n(A) parametrizing the n-dimensional representations of an associative algebra A over a field of characteristic zero. We show that the homology of DRep_n(A) is isomorphic to the Chevalley-Eilenberg homology of the current Lie coalgebra gl_n^*(C) defined over a Koszul dual coalgebra of A. We extend this isomorphism to representation schemes of Lie algebras: for a finite-dimensional reductive Lie algebra g, we define the derived affine scheme DRep_g(a) parametrizing the representations (in g) of a Lie algebra a; we show that the homology of DRep_g(a) is isomorphic to the Chevalley-Eilenberg homology of the Lie coalgebra g^*(C), where C is a cocommutative DG coalgebra Koszul dual to the Lie algebra a. We construct a canonical DG algebra map Φ_g(a) : DRep_g(a)^G -> DRep_h(a)^W, which is a homological extension of the classical restriction homomorphism. We call Φ_g(a) a derived Harish-Chandra homomorphism. We conjecture that, for a two-dimensional abelian Lie algebra a, the derived Harish-Chandra homomorphism is a quasi-isomorphism, and provide some evidence for this conjecture. For any complex Lie algebra g, we compute the Euler characteristic of DRep_g(a)^G in terms of matrix integrals over G and compare it to the Euler characteristic of DRep_h(a)^W.This yields an interesting combinatorial identity, which we prove for gl_n and sl_n (for all n). Our identity is analogous to the classical Macdonald identity, and our quasi-isomorphism conjecture is analogous to the strong Macdonald conjecture proved by S.Fishel, I.Grojnowski and C.Teleman. We explain this analogy by giving a new homological interpretation of Macdonald's conjectures in terms of derived representation schemes, parallel to our Harish-Chandra quasi-isomorphism conjecture.

연구 동기 및 목표

• 결합 대수의 표현 호모로지와 리 대수 (코)호모로지 사이의 개념적 관계를 Koszul 대칭을 통해 명확히 하기.
• 유도된 설정에서 고전적 Harish-Chandra 제약 사상을 새로운 호모로지적 구성으로 일반화하기.
• 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상이 두 차원 아벨 리 대수에 대해 준동형임을 추측하고 이를 뒷받침할 증거를 제시하기.
• 유도된 표현 스킴를 통해 Macdonald의 추측에 대한 호모로지적 해석을 수립하기.
• 불변 유도된 표현 스킴의 오일러 특성수를 계산하고, Macdonald 항등식과 유사한 새로운 조합적 항등식을 도출하기.

제안 방법

• Koszul 대칭을 활용하여 유도된 표현 스킴 $\mathrm{DRep}_n(A)$를 커런트 리 코알제브라 $\mathfrak{gl}_n^*(\bar{C})$의 Chevalley-Eilenberg 호모로지와 연결하며, 여기서 $\bar{C}$는 $A$의 Koszul 쌍대 코알제브라이다.
• 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상으로 불리는 표준적인 DG 대수 사상 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a}) : \mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G \to \mathrm{DRep}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})^W$를 구성하며, 이는 고전적 제약 사상을 확장한다.
• 리 대수의 유도된 표현 스킴 이론을 적용하여 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$를 리 대수 $\mathfrak{a}$의 $\mathfrak{g}$-표현을 매개하는 유도된 스킴으로 정의한다.
• 재구성된 군 $G$ 위에서의 행렬 적분을 사용하여 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$의 오일러 특성수를 계산하고, $W$-불변 사례와 비교한다.
• Macdonald의 추측에 대한 새로운 호모로지적 해석을 수립하기 위해, 이를 유도된 표현 스킴과 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상과 연결한다.
• 일반화된 불변 2차 텐서와 공트레이스 구성법을 활용하여 $\mathrm{Tr}_{\mathfrak{C}} : \mathrm{HC}_\bullet(\mathcal{P}, A) \to \mathrm{H}_\bullet(A, \mathfrak{C})$라는 트레이스 사상을 정의하며, 이는 순환 호모로지와 리 이론에서 알려진 트레이스 사상의 일반화이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유도된 표현 스킴 $\mathrm{DRep}_n(A)$의 호모로지와 커런트 리 대수의 Chevalley-Eilenberg 호모로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ2 만일 $\mathfrak{a}$가 두 차원 아벨 리 대수일 경우, 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$는 준동형인가?
• RQ3 유도된 표현 스킴 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$의 오일러 특성수는 행렬 적분을 통해 계산되고 $W$-불변 사례와 비교될 수 있는가?
• RQ4 Koszul 대칭은 표현 호모로지와 리 (코)호모로지 사이의 관계를 어떻게 규정하는가?
• RQ5 유도된 대수기하학의 맥락에서 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상은 고전적 Harish-Chandra 제약 사상을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 유도된 표현 스킴 $\mathrm{DRep}_n(A)$의 호모로지는 $A$의 Koszul 쌍대 코알제브라 $\bar{C}$를 갖는 커런트 리 코알제브라 $\mathfrak{gl}_n^*(\bar{C})$의 Chevalley-Eilenberg 호모로지와 동형이며, 이는 [BKR] 및 [BR]의 결과에 대한 개념적 설명을 제공한다.
• 유한 차원의 재구성 리 대수 $\mathfrak{g}$에 대해 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$의 호모로지는 리 코알제브라 $\mathfrak{g}^*(\bar{C})$의 Chevalley-Eilenberg 호모로지와 동형이다. 여기서 $\bar{C}$는 리 대수 $\mathfrak{a}$의 Koszul 쌍대이다.
• 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$는 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$에서 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})^W$로 가는 표준적인 DG 대수 사상으로, 고전적 제약 사상을 일반화한다.
• 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상이 두 차원 아벨 리 대수 $\mathfrak{a}$에 대해 준동형임을 추측하는 것은 $\mathfrak{gl}_2$, $\mathfrak{sl}_2$의 경우와 $n \to \infty$에서의 귀납적 극한으로서 $\mathfrak{gl}_n$, $\mathfrak{sl}_n$, $\mathfrak{so}_n$, $\mathfrak{sp}_{2n}$의 경우에 대한 증명으로 지지된다.
• 모든 복소수 재구성 리 대수 $\mathfrak{g}$에 대해 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$의 오일러 특성수는 군 $G$ 위에서의 행렬 적분을 통해 계산되며, 이는 Macdonald 항등식과 유사한 새로운 조합적 항등식을 도출한다. 이는 $\mathfrak{gl}_n$ 및 $\mathfrak{sl}_n$의 경우에 대해 증명되었다.
• 논문은 유도된 Harish-Chandra 호모로지 사상 추측이 강력한 Macdonald 추측과 유사함을 보여줌으로써 Macdonald의 추측에 대한 호모로지적 해석을 수립하였다. 새로운 항등식은 오일러 특성수 비교에서 유도되었다.