[논문 리뷰] Representative functions on discrete groupoids and duality with Hopf algebroids

Laiachi El Kaoutit|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이중성의 이중성 원리를 통해 이산 군oids와 기하학적으로 전이 가능한 교환적 호프 알지브로이드 사이의 이중성을 확립한다. 이중성은 두 반대함수를 통해 이루어지며, 하나는 각 호프 알지브로이드에 대해 그 특성군oids를 할당하고, 다른 하나는 각 이산 군oids에 대해 그 대표 함수의 호프 알지브로이드를 할당한다. 주요 기여는 고전적인 이산 군과 교환적 호프 대수 사이의 이중성 원리를 군oids 설정으로 일반화한 것으로, 탄카나-크라인 이중성 원리의 확장이다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish a duality between the category of discrete groupoids and the category of geometrically transitive commutative Hopf algebroids in the sense of P. Deligne and A. Bruguières. In one direction we have the usual contravariant functor which assigns to each Hopf algebroid its characters groupoid (the fiber groupoid at the ground field). In the other direction we construct the contravariant functor which associated to each discrete groupoid its Hopf algebroid of representative functions. This duality extends the well known duality between discrete groups and commutative Hopf algebras, and also sheds light on a new approach to Tannaka-Krein duality for compact topological groupoids. Our results are supported by several illustrative examples including topological ones.

연구 동기 및 목표

• 이산 군과 교환적 호프 대수 사이의 고전적 이중성을 군oids 설정으로 확장한다.
• 대표 함수를 사용하여 이산 군oids에서 교환적 호프 알지브로이드로 가는 반대함수를 정의한다.
• 이산 군oids의 범주와 기하학적으로 전이 가능한 교환적 호프 알지브로이드의 범주 사이의 이중성을 확립한다.
• 위상군oids의 맥락에서 탄카나-크라인 이중성 원리를 이해하기 위한 새로운 프레임워크를 제공한다.
• 대표 함수의 역할을 리와 컴acts 군에서 이산 군oids로 일반화한다.

제안 방법

• 이산 군oids에 대해 그 대표 함수의 호프 알지브로이드를 할당하는 반대함수를 구성한다. 이는 체 $\Bbbk$ 위에서 수행된다.
• 기저 체에서의 섬유 군oids를 사용하여 호프 알지브로이드에서 이산 군oids로의 특성군oids 함수를 정의한다.
• 탄카니안 범주 이론과 모나이드 범주 이론을 적용하여 기하학적으로 전이 가능한 교환적 호프 알지브로이드의 범주에서의 보편 대상을 정의한다.
• 보편 호프 알지브로이드로 $\mathscr{L}_{\Bbbk}(\omega) \cong \bigoplus_X \omega(X)^* \otimes_{\mathrm{T}_X} \omega(X)$ 를 구성한다.
• 델리뉴와 브루지프레의 탄카니안 범주 이론 및 충분한 아이디포텐트를 가진 호프 알지브로이드의 구조에 기반한 결과를 활용한다.
• 탄카니안 범주와 섬유 함수를 갖춘 범주 $\mathsf{Tanna}_{\Bbbk}$ 를 사용하여 $\mathscr{L}_{\Bbb{k}}$ 를 $\mathsf{GTCHAlgd}_{\Bbb{k}}$ 로의 함수로 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 군과 교환적 호프 대수 사이의 이중성은 이산 군oids와 기하학적으로 전이 가능한 교환적 호프 알지브로이드로 확장될 수 있는가?
• RQ2 이산 군oids에서의 대표 함수는 어떻게 호프 알지브로이드의 구조를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 특성군oids는 호프 알지브로이드와 이산 군oids 사이의 이중성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이러한 이중성은 컴팩트 위상군oids에 대한 탄카나-크라인 이중성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 군oids에서의 대표 함수의 구성 뒤에 있는 대수적 및 범주론적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 이산 군oids의 범주와 기하학적으로 전이 가능한 교환적 호프 알지브로이드의 범주 사이의 반대함수를 통해 이중성을 확립한다. 이는 $\mathscr{R}_{\Bbbk}$ 와 $\chi_{\Bbb{k}}$ 를 통해 이루어진다.
• 이산 군oids에서의 대표 함수의 호프 알지브로이드는 $\mathscr{L}_{\Bbb{k}}(\omega) \cong \bigoplus_X \omega(X)^* \otimes_{\mathrm{T}_X} \omega(X)$ 로 구성되며, 기하학적으로 전이 가능한 교환적 호프 알지브로이드의 범주로 가는 잘 정의된 공변함수를 이룬다.
• 이중성은 고전적인 이산 군과 교환적 호프 대수 사이의 이중성을 일반화하여 군oids 설정으로 확장한다.
• $\mathscr{L}_{\Bbb{k}}$ 의 구성은 이중범주에 대한 엄밀한 준동형사상임이 입증되어 범주론적 프레임워크를 강화한다.
• 콤팩트 하우스도르프 기저 공간을 갖는 위상군oids에서의 연속 대표 함수의 대수는 일반화된 함수 $\overline{\mathscr{L}}_{\Bbb{k}}$ 를 통해 탄카니안 대상의 이미지로 나타난다.
• 호프 알지브로이드 $\overline{\mathscr{L}}_{\Bbb{k}}(\omega)$ 는 관련된 이중모듈 $\boldsymbol{\Sigma}$ 가 프로젝티브일 경우 $(A \otimes_{\Bbb{k}} A)$-모듈로서 프로젝티브이다.