[논문 리뷰] Resurgence and Dynamics of O(N) and Grassmannian Sigma Models

Gerald V. Dunne, Mithat Ünsal|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 28.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 82인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℝ×S¹ 위의 O(N) 및 그라스만이안 시그마 모델에 복소화 이론을 적용하여, 비instanton 2차원 안정점들이 𝔬(N)의 애핀 루트 체계와 연결된 새로운 안정점으로 분할됨을 밝혀냈다. 이러한 분할된 안정점—특히 중성 바이온—은 섭동적 모호성을 상쇄하고 질량 갭을 생성하며, 복소화 전역 급수를 통해 비섭동적 연속적 정의를 제공한다. 주요 결과는 대칭수 N의 극한에서 확인되었고, 재규격화자와 양자장 이론-게이지 이론 dualities와의 연결도 제시되었다.

ABSTRACT

We study the non-perturbative dynamics of the two dimensional ${O(N)}$ and Grassmannian sigma models by using compactification with twisted boundary conditions on $\mathbb R imes S^1$, semi-classical techniques and resurgence. While the $O(N)$ model has no instantons for $N>3$, it has (non-instanton) saddles on $\mathbb R^2$, which we call 2d-saddles. On $\mathbb R imes S^1$, the resurgent relation between perturbation theory and non-perturbative physics is encoded in new saddles, which are associated with the affine root system of the ${\frak o}(N) $ algebra. These events may be viewed as fractionalizations of the 2d-saddles. The first beta function coefficient, given by the dual Coxeter number, can then be intepreted as the sum of the multiplicities (dual Kac labels) of these fractionalized objects. Surprisingly, the new saddles in $O(N)$ models in compactified space are in one-to-one correspondence with monopole-instanton saddles in $SO(N)$ gauge theory on $\mathbb R^3 imes S^1$. The Grassmannian sigma models ${ m Gr}(N, M)$ have 2d instantons, which fractionalize into $N$ kink-instantons. The small circle dynamics of both sigma models can be described as a dilute gas of the one-events and two-events, bions. One-events are the leading source of a variety of non-perturbative effects, and produce the strong scale of the 2d theory in the compactified theory. We show that in both types of sigma models the neutral bion emulates the role of IR-renormalons. We also study the topological theta angle dependence in both the $O(3)$ model and ${ m Gr}(N, M)$, and describe the multi-branched structure of the observables in terms of the theta-angle dependence of the saddle amplitudes.

연구 동기 및 목표

• N≥4인 O(N) 모델에서 인스탄턴이 존재하지 않음에도 비섭동 효과의 부재를 해결하기 위해, 유한한 작용을 가진 대체 고전적 해를 식별하는 것.
• 복소화 이론과 급수 전개를 이용하여 2차원 O(N) 및 그라스만이안 시그마 모델의 비섭동적 연속적 정의를 수립하는 것.
• 중성 바이온과 킴크-인스탄턴이 질량 갭을 생성하고 섭동적 모호성을 상쇄하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것, 특히 재규격화자와의 관련성을 포함하여.
• 2차원 시그마 모델의 반고전적 분석을 확장하여 위상적 θ-각 의존성과 다중지점 관측량을 포함하는 것.
• ℝ³×S¹ 위의 SO(N) 단극자-인스탄턴과의 대응을 통해 2차원 시그마 모델의 동역학을 4차원 게이지 이론과 연결하는 것.

제안 방법

• 비섭동 동역학에 접근하기 위해 ℝ×S¹ 위의 2차원 O(N) 및 그라스만이안 시그마 모델에 비틀린 경계 조건을 적용한 복소화.
• 복소화 이론을 적용하여 급수 전개를 통해 섭동적 및 비섭동적 영역을 연결하는 것.
• 𝔬(N) 대수의 애핀 루트 체계와 관련된 새로운 비인스탄턴 안정점—분할된 2차원 안정점—을 식별하는 것.
• 안정점의 진폭과 진공 에너지 및 질량 갭에 대한 기여를 계산하며, 중성 및 충전 바이온을 포함하는 것.
• 광역 연속성과 반고전적 기법을 사용하여 Borel 평면의 구조와 복소화 관계를 분석하는 것.
• 대칭수 N의 극한과 4차원 게이지 이론, N=4 SYM에서의 알려진 결과와의 비교를 통해, 특히 코너스 이 anomaly 차수와 응집체 상쇄 현상에 대한 분석을 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N≥4인 O(N) 모델에서 인스탄턴이 존재하지 않음에도 불구하고 비섭동 역학을 어떻게 일관적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 O(N) 모델에서 첫 번째 베타 함수 계수 β₀=N/2의 기원은 무엇이며, 이는 분할된 안정점의 다중도와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 이 모델에서 중성 바이온은 어떻게 적외색 재규격화자와 유사한 역할을 하며, 섭동적 모호성을 상쇄하는가?
• RQ4 관측량의 다중지점적 구조는 θ-각 의존성 안정점 진폭을 통해 어떻게 물리적으로 해석할 수 있는가?
• RQ5 ℝ×S¹ 위의 O(N) 모델에서의 새로운 안정점은 ℝ³×S¹ 위의 SO(N) 게이지 이론에서의 단극자-인스탄턴과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• N≥4인 O(N) 모델은 𝔬(N)의 애핀 루트 체계와 관련된 새로운 안정점으로 분할되는 유한한 작용을 가진 2차원 안정점을 지닌다. 이는 인스탄턴이 없음에도 불구하고 비섭동적 구조를 설명한다.
• 첫 번째 베타 함수 계수 β₀=N/2는 이러한 분할된 안정점의 쌍대 카크 레이블(다중도)의 합으로 해석되며, 계수의 기하학적 기원을 제공한다.
• O(N) 모델에서 중성 바이온 [B_ii]는 φ=0±에서 이중 모호성을 가지며, 진공 에너지의 섭동적 모호성을 상쇄하여 비섭동 결과가 잘 정의됨을 보장한다.
• O(6) 모델에서 중성 바이온 진폭은 진공 에너지의 허수 부분을 상쇄하며, 복소화 이론과 일치하고 물리적 모호성이 없음을 보여준다.
• O(N) 및 그라스만이안 시그마 모델의 소형 원환면 동역학은 한 사건(킨크-인스탄턴)과 두 사건(바이온)의 희박한 기체로 기술되며, 한 사건이 2차원 이론의 강한 스케일을 생성한다.
• ℝ³×S¹ 위의 SO(N) 게이지 이론에서의 단극자-인스탄턴과 O(N) 모델의 안정점 간의 대응은 2차원 시그마 모델과 4차원 게이지 이론 사이의 직접적인 연결 고리를 제공한다.