[논문 리뷰] Riemann-Hilbert correspondence for unit $F$-crystals on embeddable algebraic varieties

Sachio Ohkawa|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정확도가 있는 특성 $ p > 0 $를 가진 완전체 위의 $ W_n $-임bed 가능 대수기하 구조체에 대해 단위 $ F $-crystal에 대한 리만-힐베르트 대응을 수립한다. 이는 국소적으로 유한생성된 단위 $ F $-crystal의 유한 토르 차원을 갖는 유계 유도 범주와 $ \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $-모듈의 구조적 에테일 층의 유계 유도 범주 사이의 반동치를 증명한다. 이 구성은 적절한 스킴에 대한 임베딩의 선택에 독립적이며, 에모턴-키신 이론을 매끄러운 리프팅을 초월해 일반화한다.

ABSTRACT

For a separated scheme $X$ of finite type over a perfect field $k$ of characteristic $p>0$ which admits an immersion into a proper smooth scheme over the truncated Witt ring $W_{n}$, we define the bounded derived category of locally finitely generated unit $F$-crystals with finite Tor-dimension on $X$ over $W_{n}$, independently of the choice of the immersion. Then we prove the anti-equivalence of this category with the bounded derived category of constructible étale sheaves of ${\mathbb Z}/{p^{n}{\mathbb Z}}$-modules with finite Tor dimension. We also discuss the relationship of $t$-structures on these derived categories when $n=1$. Our result is a generalization of the Riemann-Hilbert correspondence for unit $F$-crystals due to Emerton-Kisin to the case of (possibly singular) embeddable algebraic varieties in characteristic $p>0$.

연구 동기 및 목표

• 특성 $ p > 0 $를 가진 완전체 위의 $ W_n $-임베딩 가능한 대수기하 구조체로 에모턴-키신의 단위 $ F $-crystal에 대한 리만-힐베르트 대응을 매끄러운 $ W_n $-스킴에서 일반화한다.
• 적절한 스킴에 대한 매끄럽고 고유한 $ W_n $-스킴으로의 임베딩의 선택에 독립적인 $ W_n $-임베딩 가능한 다양체 위의 단위 $ F $-crystal의 유도 범주를 정의한다.
• 리만-힐베르트 대응이 그로텐디크의 여섯 연산, 특히 $ f_+ $, $ f^! $, 및 $ \tau $-곱을 유지하는지 증명한다.
• 에테일 측면의 가브르의 페르세이브 $ t $-구조처와 대응되는 $ \mathcal{D} $-모듈 측면에 $ t $-구조를 정의한다.
• 리만-힐베르트 동치를 통해 $ \mathcal{D} $-모듈 측면의 구조적 $ t $-구조가 에테일 측면의 표준 $ t $-구조와 대응됨을 보인다.

제안 방법

• 임베딩 $ X \hookrightarrow P $에서 $ P $가 $ W_n $-스킴 위에서 고유하고 매끄럽게 되는 경우, $ D^b_{\rm lfgu}(\mathcal{D}_{F,P})^\circ $ 내의 복합체에서 $ X $에 기반한 부분범주로 $ X $ 위의 단위 $ F $-crystal의 유도 범주를 정의하기 위해 가시카와의 정리와 그 양의 특성에 대한 일반화(에모턴-키신)를 사용한다.
• 이 부분범주가 임베딩 $ X \hookrightarrow P $의 선택에 독립적이며, 이를 $ D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ $로 표기함을 증명한다.
• 리만-힐베르트 대응을 $ D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ \xrightarrow{\cong} D^b_{\rm ctf}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}) $의 반동치로 구성한다.
• 그로텐디크의 연산($ f_+ $, $ f^! $, $ \tau $-곱)을 $ \mathcal{D} $-모듈 측면에 도입하고, 이들이 에테일 측면의 $ f_! $, $ f^{-1} $, 및 $ \tau $-곱과 대응됨을 증명한다.
• 환경 $ P $의 구조를 이용하여 $ \mathcal{D} $-모듈 측면에 '구조적 $ t $-구조'라 불리는 $ t $-구조를 정의하고, 이가 $ P $의 선택에 독립적이며 성립됨을 증명한다.
• 리만-힐베르트 동치를 통해 $ \mathcal{D} $-모듈 측면의 구조적 $ t $-구조가 $ D^b_{\rm c}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) $의 표준 $ t $-구조와 대응됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $ p > 0 $를 가진 완전체 위의 $ W_n $-임베딩 가능한 다양체로, 단위 $ F $-crystal에 대한 리만-힐베르트 대응을 매끄러운 $ W_n $-스킴에서 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $ W_n $-임베딩 가능한 다양체 위의 단위 $ F $-crystal의 유도 범주는 적절한 스킴에 대한 고유하고 매끄러운 $ W_n $-스킴으로의 임베딩의 선택에 독립적인가?
• RQ3 리만-힐베르트 대응이 그로텐디크의 여섯 연산, 특히 $ f_+ $, $ f^! $, 및 $ \tau $-곱을 $ W_n $-임베딩 가능한 설정에서 유지하는가?
• RQ4 $ \mathcal{D} $-모듈 측면에 에테일 측면의 표준 $ t $-구조와 대응되는 $ t $-구조를 정의할 수 있는가?
• RQ5 에테일 측면의 가브르의 페르세이브 $ t $-구조가 $ W_n $-임베딩 가능한 경우에 $ \mathcal{D} $-모듈 측면의 표준 $ t $-구조와 대응되는가?

주요 결과

• 고유하고 매끄러운 $ W_n $-스킴 $ P $로의 임베딩의 선택에 독립적인, $ W_n $-임베딩 가능한 다양체 $ X $ 위의 국소적으로 유한생성된 단위 $ F $-crystal의 유한 토르 차원을 갖는 유도 범주 $ D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ $가 존재한다.
• 리만-힐베르트 대응은 반동치 $ D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ \xrightarrow{\cong} D^b_{\rm ctf}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}) $를 유도하며, 이는 에모턴-키신 결과를 매끄럽게 리프팅되지 않는 다양체로 일반화한다.
• 리만-힐베르트 대응은 그로텐디크의 연산을 유지한다: $ f_+ $는 $ f_! $에, $ f^! $는 $ f^{-1} $에, $ \tau $-곱은 $ \tau $-곱에 대응된다.
• 환경 $ P $의 구조를 통해 정의된, $ \mathcal{D} $-모듈 측면의 '구조적 $ t $-구조'가 존재하며, 이는 $ P $의 선택에 독립적임을 보였다.
• 리만-힐베르트 동치를 통해 $ D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ $의 구조적 $ t $-구조는 $ D^b_{\rm c}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) $의 표준 $ t $-구조와 대응된다.
• 특히 $ n=1 $인 경우, $ \mathcal{D} $-모듈 측면의 구조적 $ t $-구조는 에테일 측면의 가브르의 페르세이브 $ t $-구조와 대응되며, 이는 에모턴-키신 결과를 $ W_n $-임베딩 가능한 다양체로 확장한다.