[논문 리뷰] Ring objects in the equivariant derived Satake category arising from Coulomb branches (with an appendix by Gus Lonergan)

Alexander Braverman, Michael Finkelberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 29인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 삼중의 다양체에서 아핀 그라스만يان으로의 사영 사상 아래에서 쌍대화 복합체의 직접 이미지가 등변 호모로지 Satake 카테고리 내에서 가환 링 대상이 됨을 증명하며, 3차원 $\mathcal{N}=4$ 게이지 이론의 쿨롱 분지의 구성으로 일반화한다. 이 링 대상이 등변 코hom로지에 가환 곱을 유도함으로써 가환성에 대한 개념적 증명을 제공하고, 랑글랜즈 쌍대군에 관련된 정규층(가환 링 대상)이 타입 $A$의 퀘이버 게이지 이론으로부터 유래됨을 보이며, 이는 3차원 시칠리안 이론의 히그스 분지와 연결된다.

ABSTRACT

This is the second companion paper of arXiv:1601.03586. We consider the morphism from the variety of triples introduced in arXiv:1601.03586 to the affine Grassmannian. The direct image of the dualizing complex is a ring object in the equivariant derived category on the affine Grassmannian (equivariant derived Satake category). We show that various constructions in arXiv:1601.03586 work for an arbitrary commutative ring object. The second purpose of this paper is to study Coulomb branches associated with star shaped quivers, which are expected to be conjectural Higgs branches of $3d$ Sicilian theories in type $A$ by arXiv:1007.0992.

연구 동기 및 목표

• 등변 호모로지 Satake 카테고리 내의 링 대상들을 통한 쿨롱 분지의 수학적 정의를 일반화하기 위해.
• 삼중 다양체의 등변 코hom로지에 대한 컨볼루션 곱이 기하학적이고 개념적인 방법으로 가환성을 띠는지 증명하기 위해.
• 정규층(가환 링 대상)이 타입 $A$의 프레임드 퀘이버 게이지 이론으로부터 유래됨을 보이며, 3차원 시칠리안 이론의 히그스 분지와 연결하기 위해.
• 별형 퀘이버 게이지 이론의 쿨롱 분지를 개별 다리들로부터의 링 대상들의 접합 구조로 간주하기 위해.
• 이러한 퀘이버 이론의 쿨롱 분지와 타입 $A$에서의 진츠부르크-카즈단 해석적 심플렉틱 다양체 사이의 동형사상 수립하기 위해.

제안 방법

• 사영 사상 $\pi: \mathcal{R} \to \mathrm{Gr}_G$를 통해 등변 호모로지 복합체 $D_G(\mathrm{Gr}_G)$ 내에서 링 대상 $\mathscr{A} = \pi_*\boldsymbol{\omega}_{\mathcal{R}}[-2\dim\mathbf{N}_{\mathcal{O}}]$를 구성하기 위해.
• 컨볼루션 곱 $\mathsf{m}: \mathscr{A} \star \mathscr{A} \to \mathscr{A}$를 정의하여 $\mathscr{A}$가 $D_G(\mathrm{Gr}_G)$ 내에서 가환 링 대상이 됨을 보여주기 위해.
• 유도된 Satake 동치를 사용하여 $\mathscr{A}$를 프레임드 퀘이버 게이지 이론의 정규층 $\mathscr{A}_R$로 식별하기 위해, 타입 $A_{N-1}$과 특정 차원 벡터를 가진다.
• 각 다리들에 대한 링 대상들로부터 새로운 가환 링 대상을 만드는 접합 구조 $i_\Delta^!(\boxtimes \mathscr{A}_i)$를 적용하기 위해.
• 별형 퀘이버 이론의 결과 쿨롱 분지가 타입 $A_1$과 $A_2$에서 진츠부르크-카즈단 구성과 일치함을 검증하여 기대되는 심플렉틱 기하학적 성질을 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼중 다양체의 등변 보렐-무어 호모로지에 대한 컨볼루션 곱의 가환성은 직접 계산 없이 기하학적으로 증명될 수 있는가?
• RQ2 유도된 Satake 카테고리 내에서 정규층 $\mathscr{A}_R$는 타입 $A$의 퀘이버 게이지 이론으로부터 유도되는가?
• RQ3 별형 퀘이버 게이지 이론의 쿨롱 분지는 그 다리들로부터의 링 대상들의 접합으로서 실현될 수 있으며, 기존의 심플렉틱 다양체와 일치하는가?
• RQ4 타입 $A$의 3차원 시칠리안 이론의 쿨롱 분지는 진츠부르크-카즈단 해석적 심플렉틱 다양체와 동형인가?
• RQ5 랭글랜즈 쌍대군의 자동형사상 $g \mapsto g^{-1}$는 링 대상의 구성과 그 대칭성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 직접 이미지 $\mathscr{A} = \pi_*\boldsymbol{\omega}_{\mathcal{R}}[-2\dim\mathbf{N}_{\mathcal{O}}]$는 $D_G(\mathrm{Gr}_G)$ 내에서 가환 링 대상이며, 컨볼루션 곱의 가환성에 대한 개념적 증명을 제공한다.
• 기저 표현의 $G^\vee$에 대응하는 정규층 $\mathscr{A}_R$는 타입 $A_{N-1}$의 프레임드 퀘이버 게이지 이론에서 $\dim V = (N-1, N-2, \dots, 1)$ 및 $\dim W = (N, 0, \dots, 0)$를 가질 때 $\mathscr{A}$로 실현된다.
• 별형 퀘이버 게이지 이론의 쿨롱 분지는 접합 구조와 [Bap15]의 동형사상에 의해 타입 $A$의 진츠부르크-카즈단 다양체와 동형임을 보였다.
• $A_1$과 $A_2$의 경우, 쿨롱 분지는 각각 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$와 최소 노름 원소의 궤도와 일치하며, 예상되는 심플렉틱 기하학적 성질을 확인한다.
• $G^\vee$에서의 자동형사상 $g \mapsto g^{-1}$는 5.20번 보조정리와 5.23번 보조정리의 증명에서 작용을 보정하기 위해 필요하며, 유도된 Satake 동치와의 호환성을 확보한다.