[논문 리뷰] Robust Fundamental Theorem for Continuous Processes

Sara Biagini, Bruno Bouchard외 2명|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|2014. 10. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가격 동역학이 가족의 확률측도로 기술되는 연속시간 금융시장에서 모델 불확실성 하에 강력한 자산 가격 정리의 기본 정리를 수립한다. 이는 제1종 무보상 기회 조건(NA₁(𝒫))을 도입하고, 각 측도 P ∈ 𝒫가 랜덤 수명 τ까지 등가 국소마르팅게일 측도를 갖는 것과 동치임을 증명함으로써, 이러한 측도 하에서 초호가격과 기대값 사이의 이원성(duality)을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study a continuous-time financial market with continuous price processes under model uncertainty, modeled via a family $\mathcal{P}$ of possible physical measures. A robust notion ${ m NA}_{1}(\mathcal{P})$ of no-arbitrage of the first kind is introduced; it postulates that a nonnegative, nonvanishing claim cannot be superhedged for free by using simple trading strategies. Our first main result is a version of the fundamental theorem of asset pricing: ${ m NA}_{1}(\mathcal{P})$ holds if and only if every $P\in\mathcal{P}$ admits a martingale measure which is equivalent up to a certain lifetime. The second main result provides the existence of optimal superhedging strategies for general contingent claims and a representation of the superhedging price in terms of martingale measures.

연구 동기 및 목표

• 자산 가격의 진정한 분포가 알려져 있지 않은 연속시간 시장에서 강력한 무보상 기회 개념을 정의하기 위해.
• 단일 확률측도가 아니라 가족의 실제측도 𝒫를 고려한 상황으로 고전적 자산 가격 정리의 확장을 위해.
• 기저 과정이 세미마르팅게일이 아니어도, 초호가격과 등가 국소마르팅게일 측도 하에서 기대값 사이의 이원성을 확립하기 위해.
• 최적의 초호가격 전략이 존재하고 연속 거래를 통해 구성될 수 있는 조건을 제공하기 위해.
• 등가성과 마르팅게일 성질을 모델 불확실성 하에서 다루기 위해 랜덤 수명 τ를 포함한 경로공간 프레임워크를 개발하기 위해.

제안 방법

• 경로가 τ 이후 편재 상태로 흠뻑 빠지는 랜덤 수명 τ ∈ (0, ∞]를 가진 càdlàg 경로의 기본공간 Ω에서 시장 모델링.
• 모든 P ∈ 𝒫 하에서 비음수이자 영이 아닌 포지션을 0 초기비용으로 초호가할 수 없도록 요구하는 강력한 무보상 조건 NA₁(𝒫) 정의.
• τ까지의 등가성 개념 도입: 두 측도 P와 Q가 τ 이전의 극단 집합에서 일치하면, τ까지 등가라고 간주.
• 경로공간에 스토로코프 표준형을 사용하고, 수명과 경로 거리의 조합을 통한 메트릭을 이용해 Ω에 폴란드 위상 구축.
• 측도 선택 기법과 국소화 기법을 적용하여 최적의 초호가전략 존재성 증명.
• 초호가 이원성 수립: 최소 초호가비용은 Q ≈ P가 τ까지 등가인 모든 Q ∈ ℚ에 대해 E^Q[f 1_{τ > T}]의 상한값과 같다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델 불확실성 하에서 연속시간 시장에서 제1종 무보상 기회(Na₁(𝒫))가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 가족의 실제측도 𝒫를 고려한 상황에서 고전적 자산 가격 정리의 확장 방법은 무엇인가?
• RQ3 랜덤 수명 τ까지의 등가 국소마르팅게일 측도 존재성과 강력한 무보상 조건 NA₁(𝒫) 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 일반적인 상환권에 대해 모델 불확실성 하에서 최적의 초호가전략을 구성할 수 있는가?
• RQ5 등가성이 랜덤 시간 τ까지로 국한될 경우 초호가가격은 어떤 가족의 국소마르팅게일 측도 하에서 기대값과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• NA₁(𝒫)가 성립함과 동시에, 모든 P ∈ 𝒫에 대해 Q가 존재하여 Q와 P가 랜덤 수명 τ까지 등가가 되는 것과 동치이다.
• 비음수 상환권 f의 초호가가격은 Q ≈ P가 τ까지 등가인 모든 Q ∈ ℚ에 대해 E^Q[f 1_{τ > T}]의 상한값과 같다.
• 가격과정 S가 세미마르팅게일이 아니어도 최적의 초호가전략이 존재하며 연속 거래를 통해 구성될 수 있다.
• 경로공간 Ω는 캐논컬 프로세스가 점진적으로 가측적이며, σ-필드 ℱ가 보렐 σ-필드와 일치하는 폴란드 위상으로 장비된다.
• 모든 Q ∈ ℚ 하에서 랜덤 수명 τ는 예측 가능하며, 이는 국소마르팅게일의 국소화 수열 존재를 보장한다.
• Ω 위에 정의된 메트릭 δ_Ω의 구성은 ℙ × (0, ∞]와 등장사상(isometric isomorphism)을 유지하며, 측도 가능성을 보장하고 측도 선택 기법을 가능하게 한다.