[논문 리뷰] Second Order Asymptotic Properties for the Tail Probability of the Number of Customers in the M/G/1 Retrial Queue

Liu Bin, Yiqiang Q. Zhao|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 29.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 41인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 중력 서비스 시간을 가진 M/G/1 재시도 큐에서 고객 수의 尾 확률에 대한 최초의 2차 점근 전개를 제시한다. 특정 천천히 변화하는 함수를 활용해 1차 근사값을 정밀화함으로써 수렴 속도의 더 정확한 특성화를 가능하게 하며, 특히 고부하 상황에서 괄목할 만한 개선을 이룬다.

ABSTRACT

When an explicit expression for a probability distribution function $F(x)$ can not be found, asymptotic properties of the tail probability function $\bar{F}(x)=1-F(x)$ are very valuable, since they provide approximations or bounds for system performance, and approaches for computing probability distribution. In this paper, we study tail asymptotic properties for the number of the customers in the $M/G/1$ retrial queueing system. For queueing systems, studies on asymptotic tails have mainly concentrated on the first order asymptotic behavior. To best our knowledge, there is no second order tail asymptotic analysis for retrial queueing models with heavy-tailed service time. Second order asymptotic expansions provide the refined asymptotic results from the first order approximation, and are often more difficult to obtain as expected. The main contribution of this paper is the second order asymptotic analysis for the $M/G/1$ retrial queue.

연구 동기 및 목표

• 재시도 큐잉 모델에서 2차 점근 분석의 부족, 특히 고객 수의 尾 확률에 대해 해결하고자 한다.
• 정적 대기 길이 尾 확률의 1차 점근 근사값을 개선하기 위해 제2의 항을 식별하고자 한다.
• 더 정밀한 2차 전개를 통해 1차 근사값의 수렴 속도를 특성화하고자 한다.
• 중력 서비스 시간을 가진 재시도 큐의 시스템 성능 추정 및 계산 방법을 향상시키고자 한다.
• 이전 연구를 확장하여 재시도와 표준 M/G/1 시스템 간의 차이를 반영한 정밀한 점근 전개를 제공하고자 한다.

제안 방법

• M/G/1 재시도 큐에서 정적 고객 수 $ L_ u $의 尾 확률 $ P\big\bracevert L_ u > j \big\bracevert $에 대한 2차 점근 전개를 유도한다.
• 서비스 시간 분포가 $ \bar{F}_\beta(t) \thicksim t^{-a}L(t) $ 형태의 규칙적으로 변화하는 분포를 가지며, $ a > 2 $ 이고, 조건 A 하에서 천천히 변화하는 함수 $ L(t) $를 명시함으로써 2차 분석이 가능하도록 한다.
• 재생 이론과 라플라스-스틸제스 변환을 적용하여 정적 분포를 분석하고 점근 전개를 도출한다.
• 1차 근사값 $ \text{Apprx1} \thicksim c_1 j^{-a+1} L(j) $ 와 2차 근사값 $ \text{Apprx2} = \text{Apprx1} + \triangle_L^{\text{app}}(j) $ 를 비교하며, $ \triangle_L^{\text{app}}(j) $ 는 제2의 보정 항을 나타낸다.
• 수치 실험을 통해 상대적 개선도 $ \text{Imprv} = \frac{\triangle_L(j)}{\text{Apprx2}} \times 100\% $ 를 계산하여 근사 정확도 향상을 검증한다.
• $ j^{-a+1}L(j) $ 와 $ j^{-a}L(j) $ 의 차수를 비교함으로써 2차 전개를 확립하며, 이는 이전 연구에서 해결되지 않은 모순(예: Liu 등, 2017)을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중력 서비스 시간을 가진 M/G/1 재시도 큐에서 고객 수의 尾 확률에 대한 2차 점근 전개는 무엇인가?
• RQ2 2차 항은 1차 근사값을 어떻게 개선하며, 수렴 속도 추정 향상에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 재시도 큐와 표준 M/G/1 큐 간의 차이를 2차 점근 전개에서 포착할 수 있는가?
• RQ4 2차 항을 포함했을 때 尾 확률 근사의 정량적 개선 정도는 어떠한가?
• RQ5 천천히 변화하는 함수 $ L(t) $ 에 어떤 조건이 성립할 경우 2차 전개를 엄밀하게 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 M/G/1 재시도 큐에서 고객 수의 尾 확률에 대해 최초의 2차 점근 전개를 확립하며, 1차 근사값을 개선한다.
• $ a = 2.5 $, $ h = 2 $, $ \rho = 0.8 $ 일 때, $ j = 200 $ 에서 상대 오차가 최대 16.1% 감소하며, 고부하 환경에서는 개선률이 50% 이상을 초과한다.
• 상대적 개선도 $ \text{Imprv} $ 는 $ j $ 가 증가함에 따라 감소함을 보이며, 이는 $ j $ 가 증가할수록 2차 항이 진짜 尾 행동을 보다 효과적으로 포착함을 시사한다.
• 2차 항 $ \triangle_L^{\text{app}}(j) $ 는 $ j^{-a}L(j) $ 의 차수를 가지며, 이는 1차 항 $ j^{-a+1}L(j) $ 보다 작지만 정밀한 보정에 필수적이다.
• 이전 연구의 핵심 한계(예: Liu 등, 2017)를 해결하였으며, $ P\big\bracevert L_\nu > j \big\bracevert $ 와 $ P\big\bracevert L_\nu > j \big\bracevert $ 간의 첫 번째 차이를 직접 제2의 항으로 사용할 수 없었던 차수 비교 문제를 해결하였다.
• 수치 결과는 2차 근사값이 1차 근사값보다 뚜렷이 뛰어나며, 특히 $ \rho = 0.8 $ 와 같은 고부하 상황에서 중간 정도의 $ j $ 에서 50% 이상의 개선을 보임을 보여준다.