[논문 리뷰] Second Order BSDEs with Jumps: Existence and probabilistic representation for fully-nonlinear PIDEs

M. Nabil Kazi-Tani, Dylan Possamaï외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 점프를 포함하는 두 번째 차수의 역확률미분방정식(2BSDEJs)의 존재성과 확률적 표현을 확립하며, 정규 조건부 확률분포를 이용한 직접적 방법을 통해 완전한 잘 정의된 이론을 제공한다. 이는 2BSDEJ의 해가 완전히 비선형인 포물형 적분미분방정식(PIDEs)의 연속해와 대응됨을 증명하며, 모델 불확실성 하에서 점프-확산 설정으로 비선형 파이크만-카프 공식을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we pursue the study of second order BSDEs with jumps (2BSDEJs for short) started in our accompanying paper [15]. We prove existence of these equations by a direct method, thus providing complete wellposedness for 2BSDEJs. These equations are a natural candidate for the probabilistic interpretation of some fully non-linear partial integro-differential equations, which is the point of the second part of this work. We prove a non-linear Feynman-Kac formula and show that solutions to 2BSDEJs provide viscosity solutions of the associated PIDEs.

연구 동기 및 목표

• 직접적 방법을 통해 두 번째 차수의 역확률미분방정식에 대한 완전한 잘 정의된 이론을 수립하기 위해 존재성을 증명한다.
• 비선형 파이크만-카프 공식을 점프-확산 설정으로 확장하여, 2BSDEJs와 완전히 비선형인 포물형 부분적분미분방정식(PIDEs)을 연결한다.
• 특히 점프가 존재하는 경우에 모델 불확실성 하에서 완전히 비선형인 PIDEs의 연속해에 대한 확률적 해석을 제공한다.
• 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도를 모두 포함하는 점프 과정으로 연속 확산에서 2BSDE 프레임워크를 일반화한다.
• 비마르코프, 비선형인 PIDEs에 점프를 포함하는 통합된 확률적 접근을 통해 확률적 제어, 비선형 PDEs, 금융수학 간의 격차를 메운다.

제안 방법

• 근사화나 쌍대성 방법에 의존하지 않고, 정규 조건부 확률분포를 기반으로 한 직접적 존재 증명을 사용한다.
• 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 생성된 필터링된 확률공간 위에서 2BSDEJs를 정의하며, 생성자 $ g $ 는 해와 그 제어에 의존한다.
• 표준 점프가 있는 BSDEs의 비교 정리를 적용하여 사전 추정과 안정성 결과를 도출한다.
• 상태공간을 가산적인 구의 커버로 나누는 기법을 사용하여 근사 확률측도를 구성하고 동적계획법 원리를 검증한다.
• 비지배 확률측도의 집합 위에서 2BSDEJs의 본질적 최대값 표현을 사용하여 PIDEs의 연속해와 연결한다.
• 점프가 있는 BSDEs의 안정성 및 비교 결과를 활용하여 정지시간에 대한 하한 연속성과 극한 근사 방법을 처리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성과 점프를 포함하는 두 번째 차수의 BSDEs에 대해, 쌍대성 또는 근사 방법에 의존하지 않고 직접적 방법으로 완전한 잘 정의된 이론을 수립할 수 있는가?
• RQ2 2BSDEJ의 해가 점프 성분을 포함하는 완전히 비선형인 PIDEs의 연속해에 대한 확률적 표현을 제공하는가?
• RQ3 기저 과정에 점프가 포함될 경우, 모델 불확실성 하에서 완전히 비선형 PDEs의 해 표현에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비리프시츠 생성자와 함께 점프-확산 과정으로 비선형 파이크만-카프 공식을 확장할 수 있는가?
• RQ5 비지배 확률측도 하에서 2BSDEJs의 해를 구성할 때 정규 조건부 확률분포의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 직접적 방법을 통해 2BSDEJs의 해 존재성을 확립하며, 이 클래스의 방정식에 대한 완전한 잘 정의된 이론을 제공한다.
• 2BSDEJ의 해가 관련된 완전히 비선형인 PIDEs의 연속해임이 입증되었으며, 고전적인 비선형 파이크만-카프 공식이 점프-확산 설정으로 확장됨을 보였다.
• 모델 불확실성 하에서도 확률적 표현이 유지되며, 해는 비지배 확률측도의 집합 위에서의 본질적 최대값으로 정의된다.
• 상태공간의 분할을 통해 근사 확률측도를 구성하고, 점프가 있는 BSDEs의 비교 정리를 활용하여 안정성과 수렴성을 도출한다.
• 값 함수 $ u $ 가 $ (t,x) $ 에서 $ t $ 에 대해 오른쪽에서 하한 연속이면, 일반적인 정지시간으로의 표현을 극한 근사 방법을 통해 확장하는 데 충분하다.
• 기존의 연속적인 경우에 대한 2BSDEs 연구를 일반화하며, 점프를 포함하는 완전히 비선형인 PIDEs에 대한 확률적 방법의 엄밀한 기초를 제공한다.