[논문 리뷰] Segal Enriched Categories I

Hugo V. Bacard|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 동치의 집합 $$\mathscr{W}$$ 를 지닌 이원관계 $$\mathscr{M}$$ 위에서의 세갈 강화 범주, 즉 세갈 $$\mathscr{M}_{\mathscr{W}}$$-범주를 도입한다. 이는 고전적 강화 범주와 세갈의 고차 범주론적 접근을 일반화하기 위해 국소화된 이원관계 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 를 구성함으로써, 결합법칙과 항등원 공리가 국소화를 통해 유지됨을 보장함으로써, 카르테시안 모나이드 범주를 초월한 호모토피 이론적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We develop a theory of enriched categories over a (higher) category M equipped with a class W of morphisms called homotopy equivalences. We call them Segal M_W -categories. Our motivation was to generalize the notion of "up-to-homotopy monoids" in a monoidal category M, introduced by Leinster. The formalism adopted generalizes the classical Segal categories and extends the theory of enriched category over a bicategory. In particular we have a linear version of Segal categories which did not exist so far. Our goal in this paper is to present the theory and provide some examples. Applications are reserved for the future.

연구 동기 및 목표

• 레인스터의 '호모토피에 의한 단순화된 모노이드' 개념을 이원관계 위의 강화 범주를 통해 다수의 대상으로 일반화하기 위해.
• 세갈의 고차 범주론적 접근을 호모토피적 맥락에서 세갈 조건을 만족하는 강화 범주로 정의함으로써 확장하기 위해.
• 약한 동치의 집합 $$\mathscr{W}$$ 를 지닌 이원관계 $$\mathscr{M}$$ 에서 국소화된 이원관계 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 을 구성하여, 합성과 항등원의 일관성 보장을 위해.
• 카르테시안 모나이드 범주가 아닌, 예를 들어 $$\mathbf{ChVect}$$ 와 같은 비카르테시안 모나이드 범주를 기반으로 하여 선형 세갈 범주를 정의함으로써 이전에 존재하지 않았던 선형 세갈 범주 버전을 제공하기 위해.
• 히르슈비히-심슨-탐사마니의 세갈 $$n$$-범주와 루리에의 $$\Delta_X$$-기반 강화 이론을 이원관계적 맥락에서 통합하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• 강화의 기초로 벤아우의 이원관계와 그 사이의 사상들을 사용한다.
• 호모토피적 이원관계에서 세갈 조건을 만족하는 신경 유사 구조를 통해 세갈 $$\mathscr{M}_{\mathscr{W}}$$-범주를 정의한다.
• 약한 동치의 집합 $$\mathscr{W}$$ 를 반전시켜 국소화된 이원관계 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 을 구성하며, 국소화 함자 $$\mathcal{L}_{\mathscr{W}}$$ 를 사용한다.
• 국소화의 보편 성질을 통해 $$\mathscr{M}$$ 에서의 합성과 항등원 사상이 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 로 이행됨을 보장한다.
• 정사각형 다이어그램과 수직 면의 교차성을 활용하여 국소화된 맥락에서 결합법칙과 항등원 공리의 일관성을 검증한다.
• 함자와 자연변환에 대해 $$\overline{F \times G} = \overline{F} \times \overline{G}$$ 라는 성질을 활용하여 합성에 대한 호환성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레인스터의 '호모토피에 의한 단순화된 모노이드' 개념은 어떻게 다수의 대상으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 세갈의 고차 범주론적 접근은 비카르테시안 모나이드 범주를 통해 이원관계적 강화를 통해 확장될 수 있는가?
• RQ3 이원관계 $$\mathscr{M}$$ 이 약한 동치의 집합 $$\mathscr{W}$$ 를 지닐 때, 국소화가 강화 범주의 구조를 유지하는가?
• RQ4 결합법칙과 항등원 공리가 $$\mathscr{M}$$ 에서 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 으로 이행되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크를 통해 특히 $$\mathbf{ChVect}$$ 에서 선형 세갈 범주를 정의할 수 있는가?

주요 결과

• 국소화된 이원관계 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 의 구성은 보편 성질을 만족하는 자연스러운 함자 $$\mathcal{L}_{\mathscr{W}}: \mathscr{M} \to \mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 를 가지며, 이는 국소화의 보편성을 보장한다.
• 합성 사상 $$c_{\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}}(U,V,W)$$ 는 $$\overline{\mathcal{L}_{\mathscr{W}_{UW}} \circ c_{\mathscr{M}}(U,V,W)}$$ 로 잘 정의되어 국소화와의 호환성을 보장한다.
• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 에서의 결합법칙 오각형은 $$\mathscr{M}$$ 의 오각형으로부터 유도되며, 국소화 함자의 인식 유일성으로 인해 교차한다.
• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 에서의 항등원과 결합법칙 공리는 보편 성질과 $$\overline{F \times G} = \overline{F} \times \overline{G}$$ 의 호환성으로 인해 $$\mathscr{M}$$ 에서 유도된다.
• 이 프레임워크는 $$\mathbf{ChVect}$$ 에서의 선형 세갈 범주를 제공하며, 이는 이전에 문헌에서 존재하지 않았던 사례이다.
• 이 구성은 고전적 강화 범주를 일반화하며, 비카르테시안 맥락으로 세갈 $$n$$-범주의 이론을 확장한다.