[논문 리뷰] Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$ and extensions by $\mathbb{Z}$ of locally finite groups

Jérémie Brieussel, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 정상적으로 유한한 군의 ℤ에 대한 유한 생성 군 확장이 샤로프의 성질 $H_{\mathrm{FD}}$를 만족함을 증명하며, 샤로프의 추측을 해결하고 그의 유한 히르슈 길이 추측에 대한 반례를 제시한다. 핵심 결과는 유한 부분군에 대한 정규성 조건이 필수적임을 보이며, 이 조건이 없으면 성질이 성립하지 않음을 보이고, 초분산 랜덤 워크 속도를 갖는 새로운 아메vable 군의 예를 구성한다.

ABSTRACT

We show that every finitely generated extension by $\mathbb{Z}$ of a locally normally finite group has Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$. This is no longer true without the normality assumption. This permits to answer some questions of Shalom, Erschler-Ozawa and Kozma. We also obtain a Neumann-Neumann embedding result that any countable locally finite group embedds into a two generated amenable group with property $H_{\mathrm{FD}}$.

연구 동기 및 목표

• 국소 유한 군의 ℤ에 대한 유한 생성 확장이 샤로프의 성질 $H_{\mathrm{FD}}$를 만족하는 조건을 규명하는 것.
• 샤로프, 에르슈러-오자와, 코즈마가 제기한 국소 유한-ℤ 군에서의 $H_{\mathrm{FD}}$에 관한 열린 문제를 해결하는 것.
• 초분산 행동을 보이는 랜덤 워크 속도를 갖는, $H_{\mathrm{FD}}$를 갖는 새로운 아메vable 군의 예를 구성하는 것.
• 가산 국소 유한 군을 두 생성자로 구성된 아메vable 군으로의 네이만-네이만 유형의 통합 결과를 확립하는 것.

제안 방법

• 모든 유한 생성 군 확장 $1 \to L \to G \to \mathbb{Z} \to 1$ 에서 $L$ 이 국소적으로 정상적으로 유한할 경우, 조화 코사이클 분석과 표현 이론을 통해 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 증명한다.
• 랜덤 워크 속도와 $μ$-조화 함수에 기반한 에르슈러-오자와 기준을 사용하여, 주어진 속도 $f(n)$ 을 갖는 군을 구성한다.
• 약한 혼합 표현을 갖는 명시적 조화 코사이클을 구성하여, 예를 들어 $\mathrm{Sym}(\mathbb{Z})\rtimes\mathbb{Z}$ 와 같은 국소 유한-ℤ 군에서 $H_{\mathrm{FD}}$ 가 성립하지 않음을 보인다.
• 조화 코사이클이 FC-중심을 통해 인수분해됨을 보여주는 구르네이의 결과를 응용하여, 에르슈러-오자와 기준으로는 포착되지 않는 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 갖는 군을 구축한다.
• 브리오셀-정(2015)의 군에서의 $\ell^p$-압축성과 등면성 성질을 활용하여 임의의 초선형 속도 함수를 실현한다.
• 코사이클 축소와 유한 차원 표현의 불변성에 기반한 모순을 통해, 무한한 유한 생성 아메vable 군의 와일러 제품 $H \wr G$ 는 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 갖지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 국소 유한-ℤ 군이 샤로프의 성질 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 갖는가?
• RQ2 샤로프의 추측, 즉 $H_{\mathrm{FD}}$ 가 유한 히르슈 길이와 동치임이 수열군에 대해 참인가?
• RQ3 초분산 랜덤 워크 속도를 갖는 군이 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 가질 수 있는가?
• RQ4 에르슈러-오자와의 속도 기준을 만족하지 않는 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 갖는 아메vable 군이 존재하는가?
• RQ5 무한한 아메vable 군의 와일러 제품이 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 갖는가?

주요 결과

• 모든 유한 생성 군 확장 $1 \to L \to G \to \mathbb{Z} \to 1$ 에서 $L$ 이 국소적으로 정상적으로 유한할 경우, 샤로프의 성질 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 만족한다.
• 다음과 같은 경우, $d \geq 3$ 에 대해 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}^d$ 는 유한 히르슈 길이를 갖지만 $H_{\mathrm{FD}}$ 는 갖지 않으며, 샤로프의 추측의 한 방향을 반박한다.
• 무한 히르슈 길이를 갖는 수열군이 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 갖는 예가 존재하므로, 샤로프의 추측의 역은 참이 아님을 반박한다.
• 모든 부분가역 함수 $f$ 에 대해 $f(x)/x \to 0$ 이면, $H_{\mathrm{FD}}$ 를 갖는 유한 생성 군 $\Delta$ 와 대칭 측도 $\mu$ 가 존재하여 어떤 $c>0$ 에 대해 $\mathbb{E}_{\mu^{(n)}}d(e,x) \geq c f(n)$ 이다.
• 이러한 $\Delta$ 에서의 모든 초선형 $\mu$-조화 함수는 상수이므로, 분산 속도와 비상수 초선형 조화 함수의 부재는 동치가 아님을 보여준다.
• 무한한 유한 생성 아메vable 군의 와일러 제품 $H \wr G$ 는 $H_{\mathrm{FD}}$ 를 갖지 않으며, 코즈마의 민간 추측을 확인한다.