[논문 리뷰] Sheaves of Higher Categories and Presentations of Smooth Field Theories

Severin Bunk|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $(\infty,n)$-범주 값의 고차 수체가 범주 $C$에서 그 자유 코코몰로지 $\hat{C}$로 확장될 수 있으며, 일반화된 전탑로지로 장비된 경우 내림내림 성질을 유지함을 증명한다. 핵심 결과는 야오다 임bedding을 沿한 $\infty$-범주적 오른쪽 칸 확장이 고차 수체의 조건을 유지함을 보이며, 이는 미분구조 공간 위의 미세한 벡터(bundle)와 전체 미분구조군 구조를 포함하는 미세한 바닥장 이론에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study the extension of higher presheaves on a category $C$ to its free cocompletion $\hat{C}$. Here, higher presheaves take values in $\infty$-categories of $(\infty,n)$-categories, for any $n \in \mathbb{N}_0$. We first observe that any pretopology on $C$ induces a pretopology of generalised coverings on $\hat{C}$. Our main result is that the $\infty$-categorical right Kan extension along the Yoneda embedding $Y \colon C o \hat{C}$ preserves the descent property: given a pretopology on $C$, any higher sheaf on $C$ extends to a higher sheaf on $\hat{C}$ with the induced pretopology. Our proofs are performed using model categorical presentations of the relevant $\infty$-categories. We then present two applications of the main result in geometry and topology: first, we prove a descent property for smooth vector bundles on diffeological spaces. Diffeological spaces form a categorically well-behaved generalisation of manifolds, which includes many infinite-dimensional spaces. Our second application is to smooth bordism-type field theories on a manifold. Here, in contrast to TQFTs, diffeomorphism groups do not generally act through mapping class groups, and the smooth structure of diffeomorphism groups becomes relevant. We show how incorporating these data allows to construct smooth field theories on a manifold from generators and relations.

연구 동기 및 목표

• 범주 $C$ 위의 고차 수체를 그 자유 코코몰로지 $\hat{C}$로 확장하면서 수체 조건을 유지하는 것.
• 범주 $C$ 위의 전탑로지로부터 $\hat{C}$ 위에 유도된 일반화된 전탑로지를 정의하는 것.
• 야오다 임bedding을 따라 $\infty$-범주적 오른쪽 칸 확장이 고차 수체에 대해 내림내림 성질을 유지함을 확립하는 것.
• 이 결과를 미분구조 공간 위의 미세한 벡터(bundle)와, 무한차원 예제를 포함하는 다양체의 일반화인 미분구조 공간에 적용하는 것.
• 완전한 미분구조군 작용을 포함하는 다양체 위의 미세한 장 이론을 구성하는 것, 특히 매핑 클래스군이 아닌 전체 미분구조군의 구조를 반영함.

제안 방법

• 모델 범주적 표현을 사용하여 $(\infty,n)$-범주들의 $\infty$-범주를 다루는 것.
• 야오다 임bedding을 통해 $C$ 위의 전탑로지로부터 $\hat{C}$ 위의 일반화된 커버링 전탑로지를 구성하는 것.
• 야오다 임bedding $Y: C \to \hat{C}$를 따라 $\infty$-범주적 오른쪽 칸 확장을 적용하는 것.
• 이 확장이 고차 수체에 대해 내림내림 조건을 유지함을 증명하는 것.
• 코코몰로지의 보편 성질을 이용하여 수체 구조를 $C$에서 $\hat{C}$로 올리는 것.
• 일반적 결과를 구체적인 기하적 설정에 적용함: 미분구조 공간과 미세한 바닥장 이론.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 범주 $C$ 위의 고차 수체는 그 자유 코코몰로지 $\hat{C}$로 확장될 수 있으며, 이때 수체 조건이 유지되는가?
• RQ2 범주 $C$ 위의 전탑로지는 야오다 임bedding을 통해 $\hat{C}$ 위에 어떤 전탑로지를 유도하는가?
• RQ3 야오다 임bedding을 따라 $\infty$-범주적 오른쪽 칸 확장은 고차 수체에 대해 내림내림 성질을 유지하는가?
• RQ4 이 확장 기계는 다양체 위의 전체 미분구조군의 구조를 존중하는 미세한 장 이론을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 미분구조 공간 위의 미세한 벡터(bundle)에 대해 내림내림 성질을 지원하는가?

주요 결과

• 유도된 전탑로지가 $\hat{C}$ 위에 존재할 때, 야오다 임bedding을 따라 $\infty$-범주적 오른쪽 칸 확장은 고차 수체에 대해 내림내림 성질을 유지한다.
• $C$ 위의 전탑로지는 $\hat{C}$ 위에 잘 정의된 일반화된 커버링 전탑로지를 유도하며, 이는 코코몰로지에서의 수체 이론을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 전체 미분구조군의 미세한 구조를 반영하는 다양체 위의 미세한 장 이론을 구성하는 데 유용하다. 매핑 클래스군의 이산 몫이 아닌 전체 미세한 구조를 포함한다.
• 미분구조 공간 위의 미세한 벡터(bundle)에 대해 내림내림 성질이 성립하며, 이는 고전적 이론의 다양체에 대한 일반화이다.
• 이 방법은 코코몰로지 구조를 이용하여 생성자와 관계를 통해 미세한 장 이론을 체계적으로 제시하는 데 유용하다.
• 결과들은 모델 범주적 기법을 사용하여 $\infty$-범주적 설정에서의 강건함을 확보한다.