[논문 리뷰] Sigma-convergence for thin heterogeneous domains and application to the upscaling of Darcy-Lapwood-Brinkmann flow

Willi Jäger, Jean Louis Woukeng|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 16.

Advanced Mathematical Modeling in EngineeringComputer Science인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주기적, 거의 주기적 또는 결정론적인 미세구조를 가진 얇은 이방성 영역으로 시그마 수렴 방법을 확장하여 Darcy-Lapwood-Brinkmann 유동의 스케일업을 가능하게 한다. 평균값을 가지는 대수를 통해 컴actness 결과를 증명하고, 효과적인 2차원 모델을 유도한다: 낮은 투수성 영역에서는 Darcy의 법칙, 높은 투수성 영역에서는 Hele-Shaw 유사 행동을 나타낸다.

ABSTRACT

The sigma-convergence concept has been up to now used to derive macroscopic models in full space dimensions. In this work, we generalize it to thin heterogeneous domains given rise to phenomena in lower space dimensions. More precisely, we provide a new approach of the sigma-convergence method that is suitable for the study of phenomena occurring in thin heterogeneous media. This is made through a systematic study of the sigma-convergence method for thin heterogeneous domains. Assuming that the thin heterogeneous layer is made of microstructures that are distributed inside in a deterministic way including as special cases the periodic and the almost periodic distributions, we make use of the concept of algebras with mean value to state and prove the main compactness results. As an illustration, we upscale a Darcy-Lapwood-Brinkmann micro-model for thin flow. We prove that, according to the magnitude of the permeability of the porous domain, we obtain as effective models, the Darcy law in lower dimensions. The effective models are derived through the solvability of either the local Stokes-Brinkmann problems or the local Hele-Shaw problems.

연구 동기 및 목표

• 비주기적 미세구조를 가진 얇은 이방성 영역에서 시그마 수렴에 대한 엄밀한 수학적 프레임워크를 개발한다.
• 주기적 구조가 아닌 결정론적으로 분포된 미세구조를 가진 얇은 영역에서 컴팩트니스 문제를 다룬다.
• 평균값을 가지는 대수를 사용하여 얇은 층에서의 저차원 효과 모델로의 동질화 기법을 일반화한다.
• 이 프레임워크를 얇은 다공성 층에서 Darcy-Lapwood-Brinkmann 시스템의 스케일업에 적용한다.
• 투수성의 스케일링에 따라 Darcy 및 Hele-Shaw 영역을 구분하는 효과 모델을 도출한다.

제안 방법

• 얇은 영역 $G_\varepsilon = G_1 \times \varepsilon G_2$ 에 적합한 새로운 시그마 수렴 프레임워크를 도입한다. 여기서 $G_1 \subset \mathbb{R}^{d_1}$, $G_2 \subset \mathbb{R}^{d_2}$, $\varepsilon \to 0$.
• 주기적, 거의 주기적, 점근적 주기적 분포를 포함한 일반적인 미세구조를 기술하기 위해 $\mathbb{R}^{d_1}$ 상의 평균값을 가지는 대수 $\mathcal{A}$ 를 사용한다.
• 일반화된 Besicovitch 공간 $\mathcal{B}_{\mathcal{A}}^{p}(\mathbb{R}^{d_1}; L^p(G_2))$ 와 평균값 연산자 $M$ 을 통해 컴팩트니스를 확립한다.
• Darcy-Lapwood-Brinkmann 시스템을 $\Omega^\varepsilon = \Omega \times (-\varepsilon, \varepsilon)$ 에 적용한다. 여기서 $\Omega \subset \mathbb{R}^{d-1}$.
• 약한 $\Sigma_{\mathcal{A}}$-수렴을 사용하여 변분 형태에서 극한으로 가는 과정을 다루고, 효과적인 방정식을 식별한다.
• 횡방향(수직 방향)인 $y$-변수에서 국소 세포 문제를 풀어 효과적인 계수를 도출하며, Darcy와 Hele-Shaw 영역을 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비주기적 미세구조를 가진 얇은 이방성 영역으로 시그마 수렴을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 미세구조가 평균값을 가지는 대수로 기술될 때, 얇은 영역의 수열에 대해 성립하는 컴팩트니스 결과는 무엇인가?
• RQ3 투수성이 $O(\varepsilon^2)$ 로 스케일링될 경우, 얇은 층에서 Darcy-Lapwood-Brinkmann 시스템에 대해 어떤 효과적인 거시모델이 도출되는가?
• RQ4 투수성이 $\varepsilon^2$ 보다 더 빠르게 스케일링될 경우, 지배적인 점성 또는 압력 구동 유동으로 이어지며, 어떤 효과 모델이 얻어지는가?
• RQ5 일반적인 평균값을 가지는 대수 프레임워크 내에서 국소 세포 문제를 항상 풀 수 있는가, 아니면 추가적인 구조적 가정이 필요한가?

주요 결과

• 새로운 컴팩트니스 결과가 증명된다: $L^p(G_\varepsilon)$ 내의 수열 $u_\varepsilon$ 에 대해 $\varepsilon^{-d_2/p}\|u_\varepsilon\|_{L^p(G_\varepsilon)} \leq C$ 라는 균일한 유계성을 만족할 경우, 부분수열이 존재하여 $\varepsilon^{-d_2}\int_{G_\varepsilon} u_\varepsilon f(x/\varepsilon) dx \to \int_{G_0} \int_{G_2} M(u_0(\cdot, \cdot, \zeta) f(\cdot, \cdot, \zeta)) d\zeta d\overline{x}$ 를 만족한다.
• 투수성 $K_\varepsilon = O(\varepsilon^2)$ 이고 $K_\varepsilon / \varepsilon^2 \to K \in (0, \infty)$ 일 경우, 스케일된 속도 $\mathbf{u}_\varepsilon / \varepsilon^2$ 는 약한 $\Sigma_{\mathcal{A}}$-수렴을 통해 $\mathbf{u}_0$ 로 수렴하며, 극한 영역 $\Sigma = \Omega \times \{0\}$ 에서 효과적 모델은 Darcy의 법칙이 된다.
• 투수성 $K_\varepsilon >> \varepsilon^2$ 인 영역에서는 효과적 압력 $p_0$ 이 횡방향 변수 $\zeta$ 에 대해 독립적이며, 극한 시스템은 $\overline{x}$-평면에서 Hele-Shaw 유사 문제로 축소된다.
• 효과적 속도 $\mathbf{u}^\prime$ 는 횡방향에 대해 $\mathbf{u}_0$ 를 평균화하여 얻으며, 극한에서 $u_d = 0$ 이다.
• 국소 문제 $-\mathrm{div}_y(A\nabla_y \mathbf{w}_j) + \overline{\nabla}_y \pi_j = e_j$ 는 일반적인 평균값을 가지는 대수에서는 항상 해가 존재하지는 않지만, $\mathcal{A} = \mathcal{C}_{\text{per}}(Y')$ 또는 $\mathcal{C}_{\text{per}}(Y') + \mathcal{C}_0(\mathbb{R}^{d-1})$ 일 경우는 해가 존재한다.
• 효과적 압력 $p_0$ 는 $\nabla_{\overline{x}} p_0 = \int_{-1}^1 M(\boldsymbol{f}_1 - A\nabla_y \mathbf{u}_1) d\zeta$ 를 만족하며, 거시적 압력과 미세구조 흐름 간의 연결을 제공한다.