[논문 리뷰] Small Uncolored and Colored Choice Dictionaries

Torben Hagerup|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 20.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 연산—초기화 포함—을 상수 시간에 지원하고 $n+1$ 비트의 공간만을 사용하는 새로운 원자 선택 사전을 제안한다. 이는 $w=o(n)$일 때 최적이다. 또한 $c$가 2의 거듭제곱일 경우 $n\log_2 c + 1$ 비트를 사용하는 색상화된 선택 사전을 도입하여, $O(n\log n + m\log\log n)$ 시간에 $n\log_2 3 + O((\log n)^2)$ 비트의 메모리로 공간 효율적인 너비 우선 탐색(BFS)을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A choice dictionary can be initialized with a parameter $n\in\mathbb{N}$ and subsequently maintains an initially empty subset $S$ of $\{1,\ldots,n\}$ under insertion, deletion, membership queries and an operation $ extit{choice}$ that returns an arbitrary element of $S$. The choice dictionary is fundamental in space-efficient computing and has numerous applications. The best previous choice dictionary can be initialized with $n$ and $t\in\mathbb{N}$ and subsequently executes all operations in $O(t)$ time and occupies $n+O(n({t/w})^t+\log n)$ bits on a word RAM with a word length of $w=Ω(\log n)$ bits. We describe a new choice dictionary that executes all operations in constant time and, in addition to the space needed to store the integer $n$, occupies only $n+1$ bits, which is shown to be optimal if $w=o(n)$. A generalization of the choice dictionary called a colored choice dictionary is initialized with $c\in\mathbb{N}$ in addition to $n$ and subsequently maintains a semipartition $(S_0,\ldots,S_{c-1})$ of $\{1,\ldots,n\}$ under the operations $ extit{setcolor}(j,\ell)$, which moves $\ell$ from its current subset to $S_j$, $ extit{color}(\ell)$, which returns the unique $j\in\{0,\ldots,c-1\}$ with $\ell\in S_j$, and $ extit{choice}(j)$, which returns an arbitrary element of $S_j$. We describe new colored choice dictionaries that, if initialized with constant $c$, execute $ extit{setcolor}$, $ extit{color}$ and $ extit{choice}$ in constant time and occupy $n\log_2\!c+1$ bits plus the space needed to store $n$ if $c$ is a power of 2, and at most $n\log_2\!c+n^ε$ bits in general, for arbitrary fixed $ε>0$. We also study the possibility of iterating over the set $S$ or over $S_j$ for given $j\in\{0,\ldots,c-1\}$ and an application of this to breadth-first search.

연구 동기 및 목표

• 모든 연산—초기화 포함—을 상수 시간에 지원하고 최소한의 공간 사용을 하는 선택 사전을 설계하는 것.
• 선택 사전을 $c$개의 상호배타적 부분집합을 유지하고 색상별 연산을 지원하는 색상화된 변형으로 일반화하는 것.
• 새로운 데이터 구조를 $n$개 정점과 $m$개 간선을 가진 그래프에서의 공간 효율적인 너비 우선 탐색(BFS)에 적용하는 것.
• 근사 선형 시간 복잡도를 유지하면서 BFS의 공간 복잡도를 향상시키는 것.
• 단어 램 모델에서 $w = \Omega(\log n)$일 때 공간 사용의 최적성을 증명하는 것.

제안 방법

• 크기 $n$인 비트 벡터와 비어있음을 추적하기 위한 추가 비트 하나를 사용하여 상수 시간의 선택 및 연산을 가능하게 하는 선택 사전을 설계한다.
• 각 색상에 대해 두 개의 선택 사전을 포함하는 이중 구조를 사용하여, setcolor 연산 중 동적 업데이트와 효율적인 반복을 지원한다.
• 단어 램 모델의 상수 시간 연산—비트 연산 및 정수 산술 포함—을 활용하여 원자 연산을 구현한다.
• 회색 정점을 3색 선택 사전에 유지하여 BFS에서 이웃 정점의 열거를 효율적으로 수행할 수 있도록 색상화된 선택 사전을 BFS에 적용한다.
• 반복 중에 컨테이너를 느슨한 표현으로 유지하고, $O(\log \log n)$ 시간 내에 표준 형태로 변환하여 빠른 열거를 지원한다.
• 반복 중에 두 사전이 역할을 번갈아가며 유지함으로써 효율성과 정확성을 확보하는 이중 구조 기법을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기화를 포함한 모든 연산을 상수 시간에 지원하고, $n+1$ 비트의 공간만을 사용하는 선택 사전을 설계할 수 있는가?
• RQ2 단어 길이 $w$가 $w=o(n)$를 만족할 때, 선택 사전의 최적 공간 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 선택 사전을 $c$개의 색상에 대해 효율적인 연산과 $n\log_2 c$ 비례하는 공간 사용을 유지하면서 일반화할 수 있는가?
• RQ4 색상화된 선택 사전을 어떻게 활용하여 BFS와 같은 그래프 알고리즘의 공간 효율성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 새로운 색상화된 선택 사전을 사용할 경우 BFS의 시간 복잡도와 공간 사용 간의 상호 교환 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 선택 사전는 $w=o(n)$일 때 최적인 $n+1$ 비트의 공간만을 사용하며, 초기화를 포함한 모든 연산을 상수 시간에 지원한다.
• c가 2의 거듭제곱일 경우 색상화된 선택 사전는 $n\log_2 c + 1$ 비트를 사용하고, 일반적으로는 임의의 고정된 $\epsilon > 0$에 대해 $n\log_2 c + n^\epsilon$ 비트 이내이다.
• 이 새로운 데이터 구조는 $O(n\log n + m\log\log n)$ 시간에 $n\log_2 3 + O((\log n)^2)$ 비트의 메모리로 BFS 알고리즘을 수행할 수 있게 한다.
• 다른 BFS 변형은 $O(n\log n + mt)$ 시간에 $n\log_2 3 + O(n^{1/t} + (\log n)^2)$ 비트의 메모리로 실행되며, 임의의 고정된 $t \in \mathbb{N}$에 대해 적용 가능하다.
• BFS에서 회색 정점에 대한 반복 시간 복잡도는 $O(\log \log n)$ 또는 $O(t)$로, 구현 방식에 따라 달라진다.
• 결과적으로 기존의 BFS 공간 복잡도 $n\log_2 3 + O(n/(\log n)^t)$에서 $O((\log n)^2)$ 비트로 개선되었으며, $t$가 고정되어 있을 경우 더욱 향상되었다.