[논문 리뷰] Solving path dependent PDEs with LSTM networks and path signatures

Marc Sabate‐Vidales, David Šiška외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 20.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 금융 파생상품 가격 설정과 헤지에 나타나는 경로에 의존하는 편미분방정식(PPDE)의 매개변수 가중치 가중치를 해결하기 위해 LSTM 네트워크와 경로 서명을 조합한 새로운 딥러닝 프레임워크를 제안한다. 마팅게일 표현 정리의 활용을 통해 비편향 추정과 신뢰구간을 가능하게 하여, 확률적 변동성 모델에서 룩백 및 오토칼라블 옵션의 가격 설정과 헤지 전략에서 높은 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

Using a combination of recurrent neural networks and signature methods from the rough paths theory we design efficient algorithms for solving parametric families of path dependent partial differential equations (PPDEs) that arise in pricing and hedging of path-dependent derivatives or from use of non-Markovian model, such as rough volatility models in Jacquier and Oumgari, 2019. The solutions of PPDEs are functions of time, a continuous path (the asset price history) and model parameters. As the domain of the solution is infinite dimensional many recently developed deep learning techniques for solving PDEs do not apply. Similarly as in Vidales et al. 2018, we identify the objective function used to learn the PPDE by using martingale representation theorem. As a result we can de-bias and provide confidence intervals for then neural network-based algorithm. We validate our algorithm using classical models for pricing lookback and auto-callable options and report errors for approximating both prices and hedging strategies.

연구 동기 및 목표

• 비마르코프 금융 모델, 예를 들어 거친 변동성 모델에서 발생하는 경로에 의존하는 편미분방정식(PPDE)의 매개변수 가중치 가중치를 효율적으로 해결하기 위한 딥러닝 알고리즘 개발.
• 무한차원 경로 의존성 문제를 해결하기 위해 경로 서명과 LSTM을 사용해 경로를 유한차원 표현으로 인코딩.
• 모델 매개변수와 경로 역사 전역의 매개변수 공간을 학습함으로써 빠른 모델 校정을 가능하게 하기.
• 파생상품 가격 설정에서 헤지 전략에 해당하는 기울기 ∇ωF의 정확한 근사치 제공.
• 마팅게일 표현 정리에 기반해 신경망 근사치의 편향을 제거하고 사후 신뢰구간을 제공하기.

제안 방법

• PPDE의 해는 피카르-카프 공식을 통해 확률적으로 표현되어, 학습을 위한 몬테카를로 샘플링이 가능하다.
• 경로 서명을 사용해 연속 경로 ω ∈ C([0,T]; ℝ^d)를 경로 의존 정보를 효율적으로 캡처하는 유한차원 벡터로 인코딩한다.
• LSTM 네트워크를 사용해 경로의 비예측 기능을 모델링하여 자산 가격 역사에 대한 시퀀스 모델링을 가능하게 한다.
• 마팅게일 표현 정리를 적용해 편향 제거 및 학습 목표에서 신뢰구간 추정이 가능한 손실 함수를 구성한다.
• 두 가지 학습 알고리즘을 제안: 조건부 기대값을 사용하는 알고리즘 2와 마팅게일 표현을 사용하는 알고리즘 3로 분산 제어를 향상시킨다.
• 이 방법은 PPDE 해 F(t, ω; β)와 그 경로 도함수 ∇ωF를 동시에 학습하며, 이는 금융 응용에서 헤지 전략에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LSTM 네트워크와 경로 서명을 조합해 고차원 경로 공간에서 매개변수 가중치 가중치를 가진 경로 의존 편미분방정식의 해를 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 마팅게일 표현 정리를 활용해 딥러닝 기반 PPDE 해법에서 편향 제거 및 신뢰구간 추정이 가능한 학습 목표를 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 방법은 경로 의존 옵션 가격 설정과 헤지에 대해 피드포워드 네트워크보다 정확도와 효율성 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이 방법은 연속적인 매개변수 공간 β ∈ B 전역에서 해를 학습함으로써 얼마나 빠른 모델 校정을 지원할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 룩백 및 오토칼라블 옵션과 같은 복잡한 파생상품의 헤지 전략 ∇ωF를 정확하게 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 기하 브라운 motion 하에서 룩백 옵션에 대해, 마팅게일 표현과 경로 서명 입력을 사용한 결과, 적분 오차는 6.47×10⁻³, 헤지 오차는 3.6×10⁻²를 기록했다.
• 헤스턴 모델에서 오토칼라블 옵션에 대해, 적분 오차는 1.4×10⁻², 헤지 오차는 1.8×10⁻²이며, 예측된 가격과 몬테카를로 가격 간 상관계수는 0.948이었다.
• 경로 서명 입력을 사용한 LSTM 기반 모델은 피드포워드 네트워크보다 정확도 면에서 뛰어나며, 특히 경로 의존 동적 특성과 헤지 민감도를 잘 포착했다.
• 마팅게일 표현 정리를 활용해 비편향 추정기와 유효한 신뢰구간을 신경망 예측에 구성할 수 있었다.
• 프레임워크는 전체 매개변수 가중치 해의 가중치를 성공적으로 학습하여, 다양한 모델 매개변수에서의 신속한 모델 校정과 실시간 가격 설정을 가능하게 했다.
• 이 방법은 다양한 변동성 수준과 경로 의존 수익 구조(예: 장벽 및 오토칼라블 기능 포함)에서 뛰어난 강건성을 보였다.