[논문 리뷰] Solving Quadratic Unconstrained Binary Optimization with divide-and-conquer and quantum algorithms

Gian Giacomo Guerreschi|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 39인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 커뮤니티 탐지와 변수 감소 기법을 활용하여 이차 무제약 이진 최적화(QUBO) 문제의 크기를 줄이는 분할 정복 접근법을 제안한다. 이를 통해 문제는 더 작은 다항식 무제약 이진 최적화(PUBO) 인스턴스로 변환된다. QAOA와 결합할 경우, 무작위 3-정규 그래프에서 Max-Cut 문제의 경우 필요한 큐비트 수를 약 42% 감소시키며 해의 질을 향상시킨다. 반면, 고전적 해법은 재구성화 과정에서 이점을 얻지 못한다.

ABSTRACT

Quadratic Unconstrained Binary Optimization (QUBO) is a broad class of optimization problems with many practical applications. To solve its hard instances in an exact way, known classical algorithms require exponential time and several approximate methods have been devised to reduce such cost. With the growing maturity of quantum computing, quantum algorithms have been proposed to speed up the solution by using either quantum annealers or universal quantum computers. Here we apply the divide-and-conquer approach to reduce the original problem to a collection of smaller problems whose solutions can be assembled to form a single Polynomial Binary Unconstrained Optimization instance with fewer variables. This technique can be applied to any QUBO instance and leads to either an all-classical or a hybrid quantum-classical approach. When quantum heuristics like the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) are used, our proposal leads to a double advantage: a substantial reduction of quantum resources, specifically an average of ~42% fewer qubits to solve MaxCut on random 3-regular graphs, together with an improvement in the quality of the approximate solutions reached.

연구 동기 및 목표

• 정확한 해를 구하는 데 지수 시간이 소요되는 NP-완전인 어려운 QUBO 문제의 계산 복잡도를 줄이기 위해.
• 근접한 양자 컴퓨터의 큐비트 수 제한을 완화하기 위해 QUBO 문제를 해결하는 데 필요한 큐비트 수를 줄이기 위해.
• 분할 정복 기반으로 QUBO를 PUBO로 재구성하는 것이 QAOA와 같은 양자 휴리스틱 기법의 성능 향상에 기여하는지 탐색하기 위해.
• 축소된 크기의 PUBO 인스턴스가 양자 또는 고전적 해법에 더 적합한지 평가하기 위해, 특히 하이브리드 양자-고전적 워크플로우에서의 적용을 고려하기 위해.

제안 방법

• 기존 QUBO 그래프를 커뮤니티 탐지 알고리즘을 적용해 하위 그래프로 분할하여 독립적인 최적화 하위 문제로 분해한다.
• 각 하위 그래프 내에서 변수를 융합하는 새로운 변수 감소 기법을 사용하여 원래 QUBO를 변수 수가 적은 PUBO 인스턴스로 변환한다.
• 시스템적 변환을 통해 k-체 상호작용을 2^{k-1}개의 가중치가 부여된 절단문으로 매핑하여 결과 PUBO를 Max-SAT 인스턴스로 재구성한다.
• 변이적 성격을 지닌 QAOA를 변환된 PUBO 인스턴스를 해결하도록 적응시켜 고차수 다항식 항을 처리한다.
• QAOA 해밀토니안의 계수를 효율적으로 계산하기 위해 빠른 월리스-하다마르트 변환을 활용하여 양자 회로 구축을 효율화한다.
• 모든 고전적 및 하이브리드 양자-고전적 파ipeline에 이 방법을 통합하며, 후자의 경우 근사 품질 향상에서 양자 이점을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 커뮤니티 탐지 기반의 분할 정복 전략이 계산 난이도를 증가시키지 않고 QUBO 문제의 변수 수를 줄일 수 있는가?
• RQ2 변수 감소를 통해 QUBO를 PUBO로 변환하면 QAOA와 같은 양자 휴리스틱 기법의 성능 향상에 기여하는가?
• RQ3 큐비트 수 감소가 이전에는 해결이 불가능했던 QUBO 문제를 근접한 양자 장치에서 해결할 수 있도록 충분히 의미 있는가?
• RQ4 왜 재구성된 PUBO 인스턴스는 QAOA의 성능 향상에 기여하지만, akmaxsat와 같은 고전적 정확한 해법에는 기여하지 않는가?
• RQ5 QUBO에서 PUBO로의 변환을 효율적으로 구현하고 스케일링할 수 있는가? 고전적 사전 처리에서의 오버헤드는 최소한으로 유지되는가?

주요 결과

• QAOA를 사용할 경우, 무작위 3-정규 그래프에서 Max-Cut 문제의 변수 수가 약 42% 감소한다.
• 4-정규 그래프의 경우 변수 감소율은 약 22%로, 다양한 그래프 유형에 대한 확장성과 타당성을 보여준다.
• 재구성된 PUBO 인스턴스는 akmaxsat와 같은 고전적 정확한 해법에서는 성능 향상을 보이지 않아, 이 이점이 양자 휴리스틱 기법에 특화되어 있음을 시사한다.
• QAOA는 축소된 PUBO 인스턴스에서 더 나은 근사 해를 도출하여, 변환 과정이 양자 알고리즘의 효과성을 향상시킨다는 것을 시사한다.
• 이 방법은 큐비트 수가 크게 줄어든 하이브리드 양자-고전 워크플로우를 가능하게 하여 현재의 노이즈가 많은 중규모 양자(NISQ) 장치에서 더 큰 QUBO 문제를 접근 가능하게 한다.
• 가중치가 부여된 절단문을 통한 QUBO에서 SAT로의 변환 과정은 목적 함수 값에 일정한 오프셋을 유지하며, 고전적 검증을 위한 Max-SAT 해법기기에 정확한 매핑을 가능하게 한다.