[논문 리뷰] Some geometric equivariant cohomology theories

Haggai Tene|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분할다양체를 이용한 등변 코homology 이론의 기하적 구성법을 제시하며, 뒤집힌 (co)homology 이론을 통해 Poincaré 대칭성을 수립한다. 이 이론은 등변 분할다양체 (co)homology와 통합하는 상대적 이론으로서 분할다양체 테이트 (co)homology를 정의하고, 특히 G=S^3일 때 LBG의 코homology에서 cup 곱을 기하적 대표자들을 통해 명시적으로 계산한다.

ABSTRACT

In this paper we give a geometric construction of the Borel equivariant (co)homology for spaces with a $G$-action, where $G$ is a compact Lie group with the property that the adjoint representation is orientable. A nice feature of these constructions is that there are corresponding Poincaré dual (co)homology theories called backwards (co)homology. This gives rise to a third relative (co)homology theory which we call stratifold Tate (co)homology. These Tate groups agree with the original definition of Tate cohomology for finite groups given by Swan. All constructions in this paper are geometric and use stratifolds. One advantage of this description is that elements in these groups can be described concretely by representatives. We give some examples of that.

연구 동기 및 목표

• 기하학적, 보르지즘 기반의 등변 (co)homology 이론을 컴acts Lie 군에 대해 구축하고, 그들의 수축 가능한 동반 표현을 갖는다.
• 등변 분할다양체 (co)homology의 Poincaré 쌍대 이론으로서 뒤집힌 (co)homology를 도입한다.
• 자연 변환을 통해 두 이론을 통합하는 상대적 이론으로서 분할다양체 테이트 (co)homology를 정의한다.
• 코homology 클래스에 대한 명시적 기하적 대표자들을 제공하고, 특히 LBG에서의 곱 연산을 계산한다.
• 기하적 접근의 유용성을 입증하기 위해 G=S^3일 때 H*(LBG)의 곱 연산을 계산한다.

제안 방법

• 기하학적 등변 분할다양체 호몰로지와 코호몰로지 이론을, 정렬된 G-분할다양체에서 G-공간으로의 등변 사상의 보르지즘 동치류를 통해 구성한다.
• 콤팩트 분할다양체(호몰로지)와 적절한 프레드홀름 사상(코호몰로지) 사이의 대칭성을 통해, 뒤집힌 (co)homology를 Poincaré 쌍대 이론으로 정의한다.
• 뒤집힌 코호몰로지와 등변 분할다양체 코호몰로지 사이의 자연 변환을 이용해 상대적 이론인 분할다양체 테이트 (co)homology를 정의한다.
• 호모토피 동치 G^{ad} ×_G EG ≃ LBG를 활용하여 H*(LBG)를 H*_G(G^{ad})로 식별하고 기하적 구조를 이전한다.
• 분할다양체 프레임워크 내에서 Poincaré 대칭성을 적용하여, 뒤집힌 호몰로지의 대표자들 간의 합성으로 코homology의 cup 곱을 구성한다.
• 군 곱셈 μ: G^{ad} × G^{ad} → G^{ad}를 이용해 뒤집힌 호몰로지에 곱을 유도하고, 이를 쌍대화하여 코homology에서의 cup 곱을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등변 (co)homology 이론은 어떻게 분할다양체를 사용하여 기하학적으로 구성할 수 있는가? (특히 단순 호몰로지 대신에).
• RQ2 등변 설정에서 Poincaré 대칭성의 기하학적 의미는 무엇이며, 이를 어떤 이론적 쌍대성으로 실현할 수 있는가?
• RQ3 등변 분할다양체 이론과 뒤집힌 (co)homology를 통합하는 상대적 이론으로서 테이트 (co)homology 그룹은 어떻게 기하학적으로 정의할 수 있는가?
• RQ4 G=S^3일 때 H*(LBG)에서 cup 곱의 명시적 기하학적 기술은 무엇이며, 등변 코호몰로지의 곱과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 기하적 접근은 Umkehr 사상으로 정의된 LBG 코호몰로지의 곱 연산과 같은 기존의 구성들을 단순화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 G-CW 복합체에 대해 등변 분할다양체 호몰로지 SH^G_k(X)와 Borel 등변 호몰로지 H_{k−dim(G)}^G(X;Z) 사이에 자연스러운 동형사상을 수립한다.
• G-Hilbert 다양체에 대해서는 등변 분할다양체 코호몰로지 SH^*_G(P)가 Borel 등변 코호몰로지 H^*_G(P;Z)와 자연스럽게 동형이다.
• 뒤집힌 (co)homology 이론 DSH^*_G(M)는 등변 분할다양체 코호몰로지의 Poincaré 쌍대 이론으로서, 극대 대칭 이론의 기하적 실현을 제공한다.
• 분할다양체 테이트 (co)homology는 뒤집힌 (co)homology와 분할다양체 (co)homology 사이의 자연 변환을 포함하는 장점 긴밀한 수열을 통해 정의된다.
• G=S^3일 때, H*(LBG)에서의 곱 * 는 명시적으로 계산된다: a_{4k}*a_{4l}=0, a_{4k}*b_{4l+3}=a_{4k+4l}, b_{4k+3}*b_{4l+3}=b_{4k+4l+3}, 부호를 제외한 결과이다.
• 코호몰로지의 곱은 기하학적으로 대표자들의 합성으로 실현된다: α*β 는 S×S′ → G^{ad}×EG×G^{ad}×EG → G^{ad}×EG 로의 사상 μ를 통해 표현된다.