[논문 리뷰] Some new homology and cohomology theories of manifolds and orbifolds

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 68인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다각형과 효과적인 오비폴드에 대해 기하학적 및 적절성 조건을 만족하는 쌍둥이 (V, n, s, t)로 생성된 체인 복합체를 통해 정의된 새로운 호모로지 및 코호모로지 이론—M-호모로지 및 M-코호모로지—를 소개한다. 주요 기여는 이러한 이론이 Eilenberg–Steenrod 공리계를 만족하고 전통적인 (코)호모로지와 자연스럽게 동형이 되는 동시에, 특히 심플렉틱 기하학에서의 전치성과 가상 사이클 구성에 있어 (코)체인 수준에서 뛰어난 행동을 보인다는 것이다.

ABSTRACT

For each manifold or effective orbifold $Y$ and commutative ring $R$, we define a new homology theory $MH_*(Y;R)$, $M$-$homology$, and a new cohomology theory $MH^*(Y;R)$, $M$-$cohomology$. For $MH_*(Y;R)$ the chain complex $(MC_*(Y;R),\partial)$ is generated by quadruples $[V,n,s,t]$ satisfying relations, where $V$ is an oriented manifold with corners, $n\in\mathbb N$, and $s:V o{\mathbb R}^n$, $t:V o Y$ are smooth with $s$ proper near 0 in ${\mathbb R}^n$. We show that $MH_*(Y;R),MH^*(Y;R)$ satisfy the Eilenberg-Steenrod axioms, and so are canonically isomorphic to conventional (co)homology. The usual operations on (co)homology -- pushforwards $f_*$, pullbacks $f^*$, fundamental classes $[Y]$ for compact oriented $Y$, cup, cap and cross products $\cup,\cap, imes$ -- are all defined and well-behaved at the (co)chain level. Chains $MC_*(Y;R)$ form flabby cosheaves on $Y$, and cochains $MC^*(Y;R)$ form soft sheaves on $Y$, so they have good gluing properties. We also define $compactly$-$supported$ $M$-$cohomology$ $MH^*_{cs}(Y;R)$, $locally$ $finite$ $M$-$homology$ $MH_*^{lf}(Y;R)$ (a kind of Borel-Moore homology), and two variations on the entire theory, $rational$ $M$-($co$)$homology$ and $de$ $Rham$ $M$-($co$)$homology$. All of these are canonically isomorphic to the corresponding type of conventional (co)homology. The reason for doing this is that our M-(co)homology theories are very well behaved at the (co)chain level, and will be better than other (co)homology theories for some purposes, particularly in problems involving transversality. In a sequel we will construct virtual classes and virtual chains for Kuranishi spaces in M-(co)homology, with a view to applications of M-(co)homology in areas of Symplectic Geometry involving moduli spaces of $J$-holomorphic curves.

연구 동기 및 목표

• 다양체와 효과적인 오비폴드를 위한 새로운 호모로지 및 코호모로지 이론을 개발하여 (코)체인 수준에서 잘 행동하도록 하는 것.
• Kuranishi 공간에서 가상 클래스와 가상 체인을 구성하기 위한 M-(코)호모로지 기반의 프레임워크를 제공하는 것.
• 전통적인 (코)호모로지 이론을 개선된 함자성과 체인 수준의 곱 연산을 갖도록 일반화하는 것.
• M-(코)호모로지의 컴 pactly-supported, 국소 유한, 유리수, de Rham 형태를 정의하는 것.
• M-(코)호모로지와 표준 (코)호모로지 이론 간의 자연스러운 동형관계를 확립하는 것.

제안 방법

• V가 모서리가 있는 올림프된 다양체이고, s: V → R^n이 0 근처에서 적절하며, t: V → Y가 매끄럽다면, 동치류로 생성된 체인 복합체를 통해 M-호모로지 및 M-코호모로지를 정의한다.
• 함자성과 전치성과의 호환성을 확보하기 위해 생성자에 관계를 도입하며, 이는 적절성, 공방향성, 부분사상 조건을 포함한다.
• 미분기하학과 슈퍼대수학의 부호 관례를 사용하여, 섬유곱과 함께 (코)체인 수준에서 직접 컵, 캡, 크로스 곱을 구성한다.
• 체인과 코체인의 지지 조건을 제한하여 컴 pactly-supported 및 국소 유한 형태를 도입한다.
• 유리수 또는 미분형식을 사용하여 유리수 및 de Rham 형태를 정의하며, 표준 이론과의 동형관계를 유지한다.
• 모든 M-(코)호모로지 이론이 Eilenberg–Steenrod 공리계를 만족하고 전통적인 (코)호모로지 이론과 자연스럽게 동형임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양체와 오비폴드에 대해 전치성에서 잘 행동하는 (코)체인 수준에서 잘 행동하는 새로운 호모로지 및 코호모로지 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 M-(코)호모로지 이론은 표준 (코)호모로지 이론과 자연스럽게 동형인가?
• RQ3 일반적인 연산—컵, 캡, 크로스 곱, 당김, 밀림—은 이 새로운 프레임워크에서 (코)체인 수준에서 잘 정의되고 잘 행동하는가?
• RQ4 M-(코)호모로지의 컴 pactly-supported 및 국소 유한 형태가 존재하며 기대되는 이중성 및 붙임 성질을 만족하는가?
• RQ5 M-(코)호모로지의 유리수 및 de Rham 형태는 대칭성이 향상되고 미분기하학과의 호환성이 뛰어나게 정의될 수 있는가?

주요 결과

• M-호모로지 및 M-코호모로지 MH∗(Y; R)와 MH∗(Y; R)는 적절성 및 부분사상 조건을 만족하는 쌍둥이 (V, n, s, t)로 생성된 체인 복합체의 (코)호모로지로 정의된다.
• 모든 M-(코)호모로지 이론은 Eilenberg–Steenrod 공리계를 만족하고 전통적인 (코)호모로지 이론과 자연스럽게 동형이다.
• 일반적인 연산—컵, 캡, 크로스 곱, 당김, 밀림—은 (코)체인 수준에서 잘 정의되고 잘 행동한다.
• 체인 MC∗(Y; R)는 플라브 코시브를 이루고, 코체인 MC∗(Y; R)는 소프트 세이브를 이룬다. 이는 강력한 붙임 및 국소성 성질을 보장한다.
• 컴 pactly-supported M-코호모로지 MH∗_cs(Y; R)와 국소 유한 M-호모로지 MHlf_∗(Y; R)가 정의되며, 그 표준 대응체와 동형이다.
• 유리수 및 de Rham 형태의 M-(코)호모로지가 구성되었으며, 유리수 M-코호모로지에서는 컵 곱이 슈퍼교환법칙을 만족한다.