[논문 리뷰] Some remarks on a minimization problem associated to a fourth order nonlinear Schrödinger equation

Nabile Boussaïd, Antonio J. Fernández외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 29.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정된 $L^2$-노름 조건 하에서 에너지 함수의 제약 최소화 문제를 분석함으로써 혼합 분산을 갖는 제4차 비선형 슈뢰딩거 방정식의 정적 파동 해의 존재성과 안정성을 조사한다. 주요 기여는 $\beta>0$, $\sigma N=4$, $N\geq 5$ 조건 하에서 작은 질량 $c>0$일 때 최소화자가 존재하고 이들이 이동에 대해 전콤팩트임을 증명하는 것으로, 농축-콤팩트니스 추론에서 어려운 소멸 케이스를 해결한다.

ABSTRACT

Let $γ> 0\,$, $β> 0\,$, $α> 0$ and $0 < σN < 4$. In the present paper, we study, for $c > 0$ given, the constrained minimization problem \begin{equation*} \label{MinL2fixed} m(c):=\inf_{u\in S (c) }E(u), \end{equation*} where \begin{equation*} E (u):=\fracγ{2}\int_{\mathbb{R}^N}|Δu|^2\, dx -\fracβ{2}\int_{\mathbb{R}^N}| abla u|^2\, dx-\fracα{2σ+2}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2σ+2}\, dx, \end{equation*} and \begin{equation*} S(c):=\left\{u\in H^2(\mathbb{R}^N):\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2}\, dx=c ight\}. \end{equation*} The aim of our study is twofold. On one hand, this minimization problem is related to the existence and orbital stability of standing waves for the mixed dispersion nonlinear biharmonic Schrödinger equation \begin{equation*} i \partial_t ψ-γΔ^2 ψ- βΔψ+ α|ψ|^{2σ} ψ=0, \quad ψ(0, x)=ψ_0 (x),\quad (t, x) \in \mathbb{R} imes \mathbb{R}^N. \end{equation*} On the other hand, in most of the applications of the Concentration-Compactness principle of P.-L. Lions, the difficult part is to deal with the possible dichotomy of the minimizing sequences. The problem under consideration provides an example for which, to rule out the dichotomy is rather standard while, to rule out the vanishing, here for $c > 0$ small, is challenging. We also provide, in the limit $c o 0$, a precise description of the behaviour of the minima. Finally, some extensions and open problems are proposed.

연구 동기 및 목표

• 비선형 슈뢰딩거 방정식의 제4차 항을 포함한 혼합 분산을 갖는 이분형 방정식의 맥락에서 고정된 $L^2$-노름 조건 하에서 에너지 함수의 최소화자 존재성을 확립한다.
• 농축-콤팩트니스 원리 적용 시 발생하는 핵심 과제인, $\beta>0$ 조건 하에서 작은 질량 $c>0$일 때 최소화 수열의 소멸 현상을 제거하는 것.
• 최소화자의 점근적 행동을 $c \to 0^+$로 볼 때 정확히 기술하며, 관련 라그랑주 승수의 수렴값 $\beta^2/(4\gamma)$를 포함한다.
• 선형 연산자 $\gamma\Delta^2 + \beta\Delta$의 본질 스펙트럼 하단에서 분기 현상이 발생할 수 있는지 탐색한다.
• 이전 연구가 $\beta\leq 0$에 국한되었던 비슷한 질량 임계 현상 결과를 $\beta>0$의 경우로 확장한다.

제안 방법

• 에너지 함수의 제약 최소화 문제인 $m(c) = \inf_{u \in S(c)} E(u)$를 수립한다. 여기서 $S(c)$는 $L^2$-노름이 $c$인 $H^2$ 함수의 집합이며, $E(u)$는 운동에너지, 위치에너지, 비선형 항을 포함한다.
• 최소화 수열의 분석을 위해 농축-콤팩트니스 원리를 적용하며, $c \to 0^+$일 때의 이분화 및 소멸 현상을 제거하는 데 중점을 둔다.
• 스케일링 추론과 형태 $w_s(x) = s^{N/2} U(sx)$를 갖는 시험 함수를 사용하여 $E(w_s)$의 행동을 분석하고, 작은 $c$에 대해 강제성(코ercivity)을 증명한다. 여기서 $U$는 한계 문제의 기저 상태이다.
• $\sigma N = 4$ 및 $N \geq 5$ 조건 하에서 $E$의 강제성에 기반해, $c < c_N^*$일 때 $H^2(\mathbb{R}^N)$에서 최소화 수열이 이동에 대해 전콤팩트임을 확립한다.
• 최소화자와 관련된 라그랑주 승수 $\lambda$에 대한 하한을 유도하여 $\lambda > \beta^2/(4\gamma)$임을 보이며, 이는 해가 본질 스펙트럼에서 분기됨을 확인한다.
• 변분 기법과 에너지 추정을 사용해 $c \to 0^+$의 극한을 분석하여, 최소화자가 $H^2$-노름에서 0으로 수렴하고 $\lambda \to \beta^2/(4\gamma)$임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $L^2$-노름 조건 하에서 제약 최소화 문제 $m(c)$가 작은 $c>0$일 때, $\gamma>0$, $\beta>0$, $\alpha>0$, $\sigma$, $N$에 대해 어떤 조건에서 최소화자가 존재하는가?
• RQ2 비선형 항의 계수 $\beta>0$ 조건 하에서, 이는 $\beta\leq 0$일 때보다 더 어려운 상황이지만, 최소화 수열의 소멸 현상을 어떻게 제거할 수 있는가?
• RQ3 $c \to 0^+$일 때 최소화자와 그에 관련된 라그랑주 승수의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 비선형 방정식의 본질 스펙트럼 하단 $\lambda = \beta^2/(4\gamma)$에서 분기 현상이 발생하는가?
• RQ5 $\beta>0$ 조건에서 질량 임계 경우 $\sigma N = 4$로의 최소화자 존재성 결과를 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• $\beta>0$, $\sigma N = 4$, $N \geq 5$ 조건 하에서, 모든 $c < c_N^*$에 대해 함수 $E$는 $S(c)$ 위에서 강제적이며, 이는 작은 $c>0$일 때 최소화자의 존재를 보장한다.
• $c < c_N^*$일 때 $m(c)$의 최소화 수열은 이동에 대해 $H^2(\mathbb{R}^N)$에서 전콤팩트이며, 이는 소멸 및 이분화 현상을 제거한다.
• $m(c)$의 최소화자 $u$는 $\lambda > \beta^2/(4\gamma)$를 만족하며, 이는 해가 선형 연산자의 본질 스펙트럼에서 분기됨을 확인한다.
• $c \to 0^+$일 때, 임의의 최소화자 $u_c$는 $H^2(\mathbb{R}^N)$-노름에서 0으로 수렴하고, 관련 라그랑주 승수 $\lambda_c$는 $\beta^2/(4\gamma)$로 수렴한다.
• $\beta<0$일 때 존재하는 임계 질량 임계값 $\tilde{c}$는 $\beta>0$일 때 0이 되며, 이는 작은 $c>0$에 대해 최소화자가 항상 존재함을 시사한다.
• 논문은 이전 결과의 유사성에 기반해, $\sigma N < 4$일 뿐만 아니라 $\sigma \in (4/N, 1)$ 이며 $\sigma N > 4$일 때도 본질 스펙트럼에서의 분기 현상이 발생할 수 있다고 추측한다.