[논문 리뷰] Some sums over the non-trivial zeros of the Riemann zeta function

Jesús Guillera|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 22.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수의 비자명한 영점에 대한 합을 이용하여 산술 함수—망골트, 모비우스, 오일러의 타우 함수 등—에 대한 새로운 수렴하는 점근 전개와 정확한 표현을 유도한다. 유한한 영점 절단에 대해 부드럽고 불변인 망골트 함수의 표현을 도출하였으며, 랑게의 공식과 유사하게 구성되었고, 리만 가설 하에서 새로운 항등식을 제공하였으며, 제타 함수의 도함수와 쌍곡함수를 포함하는 새로운 극한 평가도 제시하였다.

ABSTRACT

We prove some identities, which involve the non-trivial zeros of the Riemann zeta function. From them we derive some convergent asymptotic expansions related to the work by Cramér, and also new representations for some arithmetical functions in terms of the non-trivial zeros.

연구 동기 및 목표

• 리만 제타 함수의 비자명한 영점에 대한 합을 이용하여 산술 함수의 새로운 수렴하는 표현을 도출하는 것.
• 유한한 영점 절단 하에서 부드럽고 불변인 망골트 함수의 표현을 도입함으로써 랑게의 공식을 일반화하는 것.
• 리만 가설과 영점의 단순성 조건 하에서 이러한 결과를 모비우스 함수와 오일러의 타우 함수로 확장하는 것.
• 크라머의 작업과 관련된 명시적인 점근 전개를 도출하여 이전의 근사치를 향상시키는 것.
• 리만 가설을 가정할 때, 임계 영점에서의 제타 값과 도함수를 포함하는 새로운 극한 평가를 수립하는 것.

제안 방법

• 쌍곡 sine 및 cosine 가중치를 포함한 비자명한 영점에 대한 합을 이용하여 망골트 함수에 대한 새로운 항등식을 유도하며, x→π⁻일 때의 점근 극한을 기록하는 cotangent 인자 포함.
• 시그마 함수의 함수방정식과 하다르드 곱 표현을 이용하여 제타 영점과 산술 함수를 연결.
• 감마 함수와 제타 함수의 경계를 포함한 복소해석 기법을 적용하여 수렴성과 점근적 행동을 정당화.
• 리만-지젤의 θ 함수와 정확한 영점 수 계산 공식을 활용하여 비자명한 영점의 분포를 분석.
• 제타 관련 디리클레 급수의 해석적 계속과 급수 변환을 통해 모비우스 및 오일러의 타우 함수의 표현을 도출.
• 오드리즈코의 제타 영점 데이터베이스를 사용하여 사긱매스(SageMath)를 통해 수치적으로 결과를 검증하고, 계산된 합과 알려진 산술 함수 간의 비교 수행.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 제타 영점에 대한 합을 이용하여 망골트 함수의 부드럽고 수렴하는 표현을 구성할 수 있는가? 이 표현은 랑게의 공식과 유사하게 유한한 영점 절단에 대해 불변인가?
• RQ2 x→π⁻일 때 sinh(xγ)/sinh(πγ)와 log t의 삼각함수를 포함하는 비자명한 영점에 대한 합의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ3 리만 가설 하에서 모비우스 함수와 오일러의 타우 함수는 제타 영점과 그 도함수를 통해 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ4 크라머의 소수 분포 작업을 개선하거나 확장하는 새로운 수렴하는 점근 전개를 유도할 수 있는가?
• RQ5 임계 영점에서 제타 값과 도함수를 포함하는 극한 표현의 값은 얼마이며, 산술 함수와 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 리만 가설 하에서 망골트 함수에 대한 새로운 표현이 도출됨: Λ(t) = -4π√t lim_{x→π⁻} [cot(x/2) Σ_{γ>0} (sinh(xγ)/sinh(πγ)) cos(γ log t) ].
• Λ(t)에 대한 공식은 유한한 영점 합의 절단에 대해 부드럽고 불변이며, 이는 이전의 이산 합과는 다름.
• 오일러의 타우 함수에 대한 새로운 항등식이 확립됨: φ(t) = 4π√t cot(x/2) Σ_{γ>0} [Re(ζ(-1/2+iγ)/ζ’(1/2+iγ)) (sinh(xγ)/sinh(πγ)) cos(γ log t) - Im(...) (cosh(xγ)/sinh(πγ)) sin(γ log t)] + 고차항.
• 새로운 극한 평가가 증명됨: lim_{x→π⁻} Σ_{γ>0} [sinh(xγ)/sinh(πγ)] ( (log 2)/√2 cos(γ log t) - Λ(t)/√t cos(γ log 2) ) = (log 2)/√2 (√t/2 - 1/(2(t²-1)√t)) - Λ(t)/√t (5√2)/12, 리만 가설을 가정함.
• 논문은 크라머의 이전 결과를 향상시킨 비자명한 영점에 대한 합에 대한 새로운 수렴하는 점근 전개를 제공함.
• 오드리즈코의 제타 영점 데이터베이스를 사용한 사긱매스를 통한 수치적 검증은 φ(t)와 Λ(t)에 대한 유도된 공식의 수렴성과 정확성을 t ∈ [2,26] 범위에서 확인함.