[논문 리뷰] SOS-Convex Lyapunov Functions and Stability of Difference Inclusions

Amir Ali Ahmadi, Raphaël M. Jungers|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 06.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 38인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다항 Lyapunov 함수에 대해 볼록성의 합의 제곱(sos) 증명을 포함하는 SOS-볼록 Lyapunov 함수—즉, 볼록성을 확인하기 위해 헤시안의 합의 제곱 표현을 갖는 다항 Lyapunov 함수—를 도입한다. 이를 통해 이산시간 스위치 시스템(차분 포함계)의 안정성 분석을 선형계획법을 통해 효율적으로 수행할 수 있다. 본 논문은 이러한 함수가 스위치 선형 시스템의 안정성에 대해 必要하고 충분한 조건임을 증명하며, 비볼록 다항 Lyapunov 함수에 비해 볼록성은 최소 차수를 상당히 높일 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce the concept of sos-convex Lyapunov functions for stability analysis of both linear and nonlinear difference inclusions (also known as discrete-time switched systems). These are polynomial Lyapunov functions that have an algebraic certificate of convexity and that can be efficiently found via semidefinite programming. We prove that sos-convex Lyapunov functions are universal (i.e., necessary and sufficient) for stability analysis of switched linear systems. We show via an explicit example however that the minimum degree of a convex polynomial Lyapunov function can be arbitrarily higher than a non-convex polynomial Lyapunov function. In the case of switched nonlinear systems, we prove that existence of a common non-convex Lyapunov function does not imply stability, but existence of a common convex Lyapunov function does. We then provide a semidefinite programming-based procedure for computing a full-dimensional subset of the region of attraction of equilibrium points of switched polynomial systems, under the condition that their linearization be stable. We conclude by showing that our semidefinite program can be extended to search for Lyapunov functions that are pointwise maxima of sos-convex polynomials.

연구 동기 및 목표

• 스위치 선형 및 비선형 시스템의 안정성 검증을 위한 계산적으로 실현 가능한 방법을 개발하기 위해 볼록 다항 Lyapunov 함수를 활용한다.
• 스위치 선형 시스템의 안정성에 대해 공통의 볼록 다항 Lyapunov 함수가 존재하는 것이 필수적이고 충분한 조건인지 확인한다.
• 다항 Lyapunov 함수에서 볼록성과 최소 차수 사이의 상호 교환 관계를 조사한다.
• 이 방법론을 스위치 다항 시스템의 안정 영역의 전면적 부분집합을 계산하는 데로 확장한다.
• 비선형 스위치 시스템에 대해 다수의 sos-볼록 다항식의 점별 최댓값을 공통 Lyapunov 함수로 사용하는 방법을 탐색한다.

제안 방법

• SOS-볼록 Lyapunov 함수의 개념을 도입한다—즉, 비음수이면서 그 헤시안에 대해 합의 제곱 표현을 갖는 다항식으로, 볼록성을 확인한다.
• Lyapunov 함수가 정부정이 되고, 모든 시스템 다이내믹스 하에서 감소 조건이 합의 제곱 제약 조건을 통해 표현되도록 함으로써 안정성 조건을 선형계획형식(SDP)으로 제작한다.
• 스위치 선형 시스템의 경우, 공통의 SOS-볼록 Lyapunov 함수가 존재하는 것은 임의의 스위칭 하에서의 점근적 안정성과 필수적이고 충분한 조건임을 증명한다.
• 파arameterized 가족의 Lyapunov 함수를 사용하여 Lyapunov 함수가 정부정이 되고, 그 하위레벨 집합이 불변이 되도록 하는 SDP를 풀어 안정 영역의 추정치를 구한다.
• 다수의 sos-볼록 다항식의 점별 최댓값이 되는 공통 Lyapunov 함수를 찾는 방법을 제안하며, 안정성 인증을 위해 경로-완전 그래프 이론을 활용한다.
• 각 $ V_j $ 가 어떤 $ k $ 에 대해 모든 $ x \neq 0 $ 에 대해 $ V_j(f_i(x)) < V_k(x) $ 를 만족하면, $ W(x) = \max_j V_j(x) $ 는 공통 Lyapunov 함수가 되며, 이러한 부등식을 계산 가능성을 확보하기 위해 SOS 조건으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스위치 선형 시스템의 안정성에 대해 공통의 볼록 다항 Lyapunov 함수가 존재하는 것이 필수적이고 충분한 조건인가?
• RQ2 동일한 시스템에 대해 비볼록 함수에 비해 볼록 다항 Lyapunov 함수의 최소 차수는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 Lyapunov 함수의 볼록성은 스위치 다항 시스템의 안정 영역의 전면적 부분집합을 계산하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ4 비선형 스위치 시스템의 안정성은 비볼록 함수가 실패할 경우에도 공통의 볼록 Lyapunov 함수로 증명될 수 있는가?
• RQ5 다수의 sos-볼록 다항식의 점별 최댓값으로 공통 Lyapunov 함수를 구성할 수 있으며, 이는 선형계획법을 통해 어떻게 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 스위치 선형 시스템의 경우, 공통의 SOS-볼록 Lyapunov 함수가 존재하는 것은 임의의 스위칭 하에서의 점근적 안정성과 동치이며, 이는 접근법의 보편성을 입증한다.
• 비볼록 함수에 비해 볼록 다항 Lyapunov 함수의 최소 차수는 안정 시스템일지라도 임의로 높아질 수 있다.
• 공통 볼록 Lyapunov 함수의 존재는 스위치 비선형 시스템의 안정성을 암시하지만, 비볼록 함수의 존재는 그러한 암시를 하지 않는다.
• 선형화가 안정할 경우, 스위치 다항 시스템의 안정 영역의 전면적 부분집합을 계산하기 위한 선형계획형식을 구성할 수 있다.
• K개의 sos-볼록 Lyapunov 함수 $ V_1, \dots, V_K $ 의 점별 최댓값은 각 $ i,j $ 에 대해 어떤 $ k $ 가 존재하여 모든 $ x \neq 0 $ 에 대해 $ V_j(f_i(x)) < V_k(x) $ 를 만족하면 공통 Lyapunov 함수가 된다. 이 조건은 SOS 제약 조건을 통해 강제로 구현할 수 있다.
• 제안된 방법은 경로-완전 그래프 프레임워크에서 전이 인덱스의 다양한 선택에 따라 $ K^{m^2} $ 개의 서로 다른 SDP 공식화를 도출한다.