[논문 리뷰] Space-efficient binary optimization for variational computing

Adam Glos, Aleksandra Krawiec외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 노이즈가 많은 중규모 양자(NISQ) 장치에서 변동형 양자 알고리즘을 위한 공간 효율적인 이진 인코딩 체계를 제안한다. 특히, 여행하는 판매원 문제(TSP)를 대상으로 하며, 큐비트 수를 줄이기 위해 큐비트 인코딩 방식을 재정의함으로써 깊이 있는 회로를 희생함으로써 고차수 이진 최적화 문제를 QAOA 프레임워크 내에서 실현 가능한 수준으로 구현할 수 있도록 한다. 이 방법은 유연한 인터폴레이션을 통해 큐비트 효율성과 깊이 효율성 사이의 균형을 조절함으로써 큐비트 수를 크게 절감하면서도 효율성을 유지한다.

ABSTRACT

In the era of Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) computers it is crucial to design quantum algorithms which do not require many qubits or deep circuits. Unfortunately, the most well-known quantum algorithms are too demanding to be run on currently available quantum devices. Moreover, even the state-of-the-art algorithms developed for the NISQ era often suffer from high space complexity requirements for particular problem classes. In this paper, we show that it is possible to greatly reduce the number of qubits needed for the Traveling Salesman Problem (TSP), a paradigmatic optimization task, at the cost of having deeper variational circuits. While the focus is on this particular problem, we claim that the approach can be generalized for other problems where the standard bit-encoding is highly inefficient. Finally, we also propose encoding schemes which smoothly interpolate between the qubit-efficient and the circuit depth-efficient models. All the proposed encodings remain efficient to implement within the Quantum Approximate Optimization Algorithm framework.

연구 동기 및 목표

• NISQ 장치에서 조합 최적화 문제를 해결하기 위한 기존 양자 알고리즘의 높은 공간 복잡도 문제를 해결하기 위해.
• 가능성에 손상을 주지 않고 TSP를 해결하기 위해 필요한 큐비트 수를 줄이기 위해.
• 큐비트 효율성과 회로 깊이 효율성 사이를 부드럽게 인터폴레이션할 수 있는 인코딩 체계를 개발하기 위해.
• 모든 제안된 인코딩이 QAOA 프레임워크 내에서 효율적이고 구현 가능하게 유지되도록 보장하기 위해.
• 다양한 인코딩 방식에서 측정 요구사항과 수렴 행동에 대한 이론적 및 실험적 분석을 제공하기 위해.

제안 방법

• 고차수 최적화 문제에 특히 유리한, 표준 비트 인코딩보다 큐비트 수를 줄이는 데 초점을 맞춘 새로운 큐비트 인코딩 전략을 제안한다.
• 목표 해밀토니안 내에서 조정 가능한 페널티 파rameter $ A_1, A_2 $ 를 통해 큐비트 효율성과 깊이 효율성 사이의 유연한 인터폴레이션을 도입한다.
• 이차화를 필요로 하지 않는 접근 방식을 사용하여 QAOA를 고차수 이진 최적화 문제(HOBO)에 적용할 수 있도록 한다.
• 유효한 해만 에너지적으로 유리하게 만들기 위해 제약 조건을 페널티 항 $ H_{\text{valid}} $ 와 $ H_{\neq} $ 를 통해 해밀토니안을 수정한다.
• 오차에 내성을 갖도록 하기 위해 스래시 변수 $ \xi_{t,i} $ 를 도입하는 하이브리드 인코딩을 사용한다.
• Hoeffding의 부등식을 적용하여 샘플링 오차와 추정 오차를 고려한 에너지 추정을 위한 측정 수를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변동형 양자 알고리즘을 사용할 때, 금지된 회로 깊이를 초래하지 않고 TSP를 해결하기 위해 필요한 큐비트 수를 크게 줄일 수 있는가?
• RQ2 큐비트 수와 회로 깊이 사이의 트레이드오프가 조합 최적화 문제의 QAOA 성공 확률과 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 표준 비트 인코딩이 비효율적인 문제에 대해, 인코딩 체계를 TSP를 초과해 일반화할 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 고차수 목표 해밀토니안을 가진 QAOA에서 페널티 파arameter 척도가 최적화 경로와 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 다양한 인코딩 전략 하에서 노이즈와 유한한 샘플링이 존재할 때, 에너지를 신뢰성 있게 추정하기 위해 필요한 측정 수는 얼마인가?

주요 결과

• 제안된 인코딩은 TSP에 필요한 큐비트 수를 $ O(N^2) $ 에서 $ O(N) $ 으로 줄여, 큐비트 수를 제곱근 수준으로 감소시킨다.
• r = 15 인 경우, QUBO 인코딩 하에서 타당한 TSP 해를 측정할 수 있는 최대 성공 확률은 0.85에 도달하며, 100개의 인스턴스 평균 최고 확률은 강력한 수렴을 보여준다.
• 에너지 추정을 위한 측정 수는 $ \Omega(\operatorname{range}(W)) $ 의 비율로 증가하며, 일반적인 가정 하에 $ \operatorname{range}(W) \sim N $ 이므로, 일정한 오차를 확보하기 위해 $ \tilde{O}(N) $ 개의 샘플이 충분하다.
• 해밀토니안의 스펙트럴 갭은 0에서 멀리 떨어져 있으며 일정한 순서를 유지하므로, QAOA에서 애드아바틱 유사 수렴이 가능하다는 것을 뒷받침한다.
• 혼합 인코딩 접근법은 스래시 변수 $ \xi_{t,i} $ 에 대해 잘못된 할당을 허용할 수 있지만, 페널티 제어를 통해 타당성을 유지한다.
• 수치적 결과는 $ A_1 = A_2 = 1 $, $ R = \pi $, $ r \leq 15 $ 일 때 알고리즘이 타당 공간과 높은 오버랩을 달성함으로써 효과적인 최적화를 이룬다는 것을 보여준다.