[논문 리뷰] Stabilized mixed finite element methods for linear elasticity on simplicial grids in $\mathbb{R}^{n}$

Long Chen, Jun Hu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 13.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\times n$에서 단순형 격자 위에서 선형 탄성에 대한 안정화된 혼합 유한요소 방법의 두 가지 유형을 제안한다. 스트레스와 이송에 각각 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$ 및 $\boldsymbol{L}^2(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$ 공간을 사용하고, 이송 점프 또는 Brezzi-Fortin-Marini 기법을 통한 안정화를 적용한다. 주요 기여는 $1 \leq k \leq n$에 대해 최적 수렴 속도를 달성하면서도 최소한의 자유도를 가지며, 새로운 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 버블 함수 기반의 보간 연산자를 통해 증명된 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we design two classes of stabilized mixed finite element methods for linear elasticity on simplicial grids. In the first class of elements, we use $\boldsymbol{H}(\mathbf{div}, Ω; \mathbb{S})$-$P_k$ and $\boldsymbol{L}^2(Ω; \mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$ to approximate the stress and displacement spaces, respectively, for $1\leq k\leq n$, and employ a stabilization technique in terms of the jump of the discrete displacement over the faces of the triangulation under consideration; in the second class of elements, we use $\boldsymbol{H}_0^1(Ω; \mathbb{R}^n)$-$P_{k}$ to approximate the displacement space for $1\leq k\leq n$, and adopt the stabilization technique suggested by Brezzi, Fortin, and Marini. We establish the discrete inf-sup conditions, and consequently present the a priori error analysis for them. The main ingredient for the analysis is two special interpolation operators, which can be constructed using a crucial $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ bubble function space of polynomials on each element. The feature of these methods is the low number of global degrees of freedom in the lowest order case. We present some numerical results to demonstrate the theoretical estimates.

연구 동기 및 목표

• 표준 $P_k$-$P_{k-1}$ 쌍이 $k \leq n$일 때 실패하는 경우, $\mathbb{R}^n$에서 단순형 격자 위에서 선형 탄성에 대한 안정된 혼합 유한요소 방법을 개발하기 위해.
• 응력 텐서의 대칭성 제약으로 인해 저차 다항식을 사용한 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-준수 유한요소를 구성하는 데 어려움이 존재하는 문제를 해결하기 위해.
• 가장 낮은 순서의 경우($k=1$)에서 전역 자유도 수를 최소화하면서도 최적 수렴 속도를 유지하기 위해.
• 제안된 안정화된 방법에 대해 이산 인프-서프 조건과 사전 오차 추정치를 수립하기 위해.

제안 방법

• 첫 번째 방법은 스트레스에 대해 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$와 이송에 대해 $\boldsymbol{L}^2(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$를 사용하고, 요소 면을 가로질러 이송의 이산 점프를 기반으로 한 안정화를 적용한다.
• 두 번째 방법은 이송에 대해 $\boldsymbol{H}_0^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_k$를 사용하고, Brezzi-Fortin-Marini 안정화 기법을 적용한다.
• 핵심적인 기술적 혁신은 각 요소에서 다항식의 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 버블 함수를 사용하여 두 가지 특수 보간 연산자를 구성하는 것이다.
• 분석은 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 버블 함수 공간의 발산이 이산 이송 공간 내의 조각별 강체 운동 공간의 직교 여부와 일치한다는 성질에 기반한다.
• 이산 인프-서프 조건은 $\boldsymbol{H}^1(\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$ 공간을 사용하여 강체 운동 성분을 제어함으로써 증명된다.
• 수치 실험은 2D 및 3D에서 이론적 수렴 속도를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순형 격자 위에서 $\mathbb{R}^n$에서 $1 \leq k \leq n$일 때 $P_k$-$P_{k-1}$ 혼합 유한요소 쌍을 안정화시킬 수 있는가?
• RQ2 표준 준수 요소가 대칭성 제약으로 인해 실패할 경우, 저차 혼합 방법에 대해 이산 인프-서프 조건을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 가장 낮은 순서의 경우에서 최소 자유도를 유지하면서도 최적 수렴 속도를 보장하는 안정화 기법은 무엇인가?
• RQ4 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 버블 함수 공간을 사용하여 핵심 이산 성질을 유지하는 안정된 보간 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법이 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\mathcal{A})$ 및 $L^2$ 노름에서 스트레스와 이송에 대해 모두 최적의 $O(h^k)$ 수렴 속도를 달성하는가?

주요 결과

• 제안된 안정화된 $P_k^\mathrm{div}$-$P_{k-1}^{-1}$ 방법은 수치 실험을 통해 2D 및 3D에서 스트레스와 이송에 대해 모두 최적의 $O(h^k)$ 수렴 속도를 달성한다.
• $P_k^\mathrm{div}$-$P_k^0$ 방법의 경우, 2D 및 3D에서 스트레스에 대해 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\mathcal{A})$-노름과 이송에 대해 $L^2$-노름에서 최적의 수렴 속도 $O(h^k)$가 관찰된다.
• 두 안정화된 방법에 대해 새로운 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 버블 함수 기반 보간 연산자를 사용하여 이산 인프-서프 조건이 엄밀히 증명되었다.
• 이 방법들은 $k=1$인 $n$차원에서도 최적 수렴 속도를 달성하며, 고차 준수 요소에 비해 자유도 수가 크게 감소한다.
• 표 2–8의 수치 결과는 수렴 차수와 이론적 예측이 일치함을 확인한다: 2D 및 3D에서 $k=1,2$일 때 $O(h^k)$.
• $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ 버블 함수의 사용은 저차 영역에서 이산 인프-서프 조건을 증명하는 데 필수적인 안정된 보간 연산자를 구성하는 데 기여한다.