[논문 리뷰] Stable limits for sums of dependent infinite variance random variables

Katarzyna Bartkiewicz, Adam Jakubowski외 2명|arXiv (Cornell University)|2009. 06. 15.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 41인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 엄격한 정 stationarity와 종속성을 갖는 확률과정의 약간 변형된 부분합이 무한한 분산을 갖는 안정분포로 수렴하는 데 필요한 명시적인 조건을 설정한다. 안정분포의 모수를 기초 과정의 꼬리 특성과 직접 연결함으로써, 이전의 정성적 극한 결과에 대한 정량적 대안을 제공하며, GARCH(1,1), 확률적 변동성, 그리고 확률적 재귀 모델에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to provide conditions which ensure that the affinely transformed partial sums of a strictly stationary process converge in distribution to an infinite variance stable distribution. Conditions for this convergence to hold are known in the literature. However, most of these results are qualitative in the sense that the parameters of the limit distribution are expressed in terms of some limiting point process. In this paper we will be able to determine the parameters of the limiting stable distribution in terms of some tail characteristics of the underlying stationary sequence. We will apply our results to some standard time series models, including the GARCH(1, 1) process and its squares, the stochastic volatility models and solutions to stochastic recurrence equations.

연구 동기 및 목표

• 종속적이며 정 stationarity인 과정에서 약간 변형된 부분합의 수렴 조건을 확보하여 무한 분산 안정분포로 수렴하도록 하는 것.
• 점 과정에 기반한 정성적 극한 특성화를 대체하여 안정분포 모수에 대한 명시적 표현을 제공하는 것.
• 극한 안정분포의 모수를 정 stationarity 시계열의 측정 가능한 꼬리 특성으로 표현하는 것.
• 이론적 프레임워크를 GARCH(1,1), 그 제곱, 확률적 변동성, 그리고 확률적 재귀 방정식을 포함한 표준 시계열 모델들에 적용하는 것.

제안 방법

• 엄격한 정 stationarity 시계열의 부분합이 무한 분산을 갖는 안정분포로 수렴하는 데 충분한 조건을 도출하는 것.
• 특히 정규화된 변화 특성들을 통해 안정성 지수와 비대칭 모수를 기초 과정의 꼬리 행동을 이용해 특성화하는 것.
• 극단적 행동과 극한 안정분포법 사이의 관계를 연결하기 위해 점 과정 수렴 기법을 사용하는 것.
• 정규화된 변화 이론과 종속성 구조를 활용하여 정규화 상수와 안정성 모수를 명시적으로 표현하는 것.
• 정 stationarity 시계열의 꼬리 지수와 꼬리 측도를 분석하여 극한 안정분포의 모수를 결정하는 것.
• GARCH(1,1) 및 확률적 재귀 방정식과 같은 특정 모델들에 프레임워크를 적용하며, 꼬리 및 종속성 조건이 충족됨을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 정 stationarity와 종속성을 갖는 시계열의 약간 변형된 부분합이 언제 무한 분산 안정분포로 수렴하는가?
• RQ2 극한 안정분포의 모수는 기초 과정의 꼬리 특성으로 어떻게 명시적으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 이 모수화는 GARCH(1,1) 및 확률적 변동성과 같은 표준 시계열 모델에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 모수 분포가 무한 분산을 갖는 경우 종속성 구조는 안정분포로의 수렴에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 극한 안정분포의 안정성 지수와 비대칭성은 정 stationarity 시계열의 꼬리 지수와 꼬리 측도에 의해 명시적으로 결정된다.
• 부분합의 정규화 상수는 꼬리 행동과 연결되어 있어 수렴의 비점근적 특성화를 가능하게 한다.
• GARCH(1,1) 과정과 그 제곱에 대해서는 적절한 꼬리 및 종속성 가정 하에 안정분포로의 수렴 조건이 충족된다.
• 확률적 변동성 모델 역시 필요한 조건을 충족하여 극한 안정분포가 꼬리 특성으로 특성화될 수 있다.
• 혁신 분포가 정규화된 변화 꼬리를 갖는 경우 및 시스템이 정 stationarity이면, 확률적 재귀 방정식의 해는 동일한 수렴 행동를 보인다.