[논문 리뷰] Starlike Functions associated with a Petal Shaped Domain

S. Sivaprasad Kumar, Kush Arora|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 20.

Analytic and geometric function theoryMathematics참고 문헌 20인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 단위 원판을 피카드 모양 영역으로 매핑하는 함수 $1 + \sinh^{-1}(z)$에 대한 초월관계를 통해 정의된 새로운 별성 함수의 부분류 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$를 제안한다. 저자들은 이 클래스 및 관련 함수 집합 $\mathcal{F}_1$, $\mathcal{F}_2$, $\mathcal{F}_3$에 대해 정확한 반경 결과를 도출하여, 각 클래스에 属하는 함수 $f$에 대해 $f(rz)/r \in \mathcal{S}^{*}_{\rho}$를 만족하는 가장 큰 $r$의 값을 정확히 구한다.

ABSTRACT

This paper deals with some radius results and inclusion relations that are established for functions in a newly defined subclass of starlike functions associated with a petal shaped domain.

연구 동기 및 목표

• 복소 평면 상의 피카드 모양 영역과 관련된 새로운 별성 함수 부분류를 정의하고 연구하는 것.
• 새로운 클래스 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 및 관련 함수 가족에 대한 정확한 반경 결과를 확립하는 것.
• $1 + \sinh^{-1}(z)$에 하위관계를 가지는 함수들의 포함 관계와 기하적 성질을 탐구하는 것.
• 다양한 함수 클래스에 대한 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-반경의 정확한 값을 도출하여, 극한 함수를 통해 그 정확성을 입증하는 것.

제안 방법

• 초월관계를 통한 클래스 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 정의: $\frac{zf'(z)}{f(z)} \prec 1 + \sinh^{-1}(z)$, 여기서 $1 + \sinh^{-1}(z)$는 $\mathbb{D}$를 피카드 모양 영역으로 매핑한다.
• 단위 원판 내 해석 함수의 알려진 초월관계 방법과 성질을 활용하여 $zf'(z)/f(z)$의 범위를 유도한다.
• 레마 3.1을 적용하여 $\mathcal{F}_1$, $\mathcal{F}_2$, $\mathcal{F}_3$에 속하는 함수에 대해 $\left| \frac{zf'(z)}{f(z)} - 1 \right|$를 추정하며, 해석 함수의 비율 실수부를 활용한다.
• 극한 함수로 $f_0(z) = z(1+z^n)/(1-z^n)^2$ 및 $f_0(z) = z(1+z^n)^2/(1-z^n)$를 구성하여 반경 추정치의 정확성을 검증한다.
• $\sinh^{-1}(z)$의 멱급수 전개를 이용하여 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$에 대한 극한 함수 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$를 유도한다.
• 특정 점, 예를 들어 $z = R e^{i\pi/n}$에서 경계에서 등호가 성립함을 보여 정확성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathcal{F}_1$에 속하는 함수 $f$에 대해 $f(rz)/r \in \mathcal{S}^{*}_{\rho}$를 만족하는 정확한 반경 값은 무엇인가요?
• RQ2 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$에 대한 반경 추정치는 $\mathcal{F}_2$ 및 $\mathcal{F}_3$ 클래스에서 어떻게 달라지나요?
• RQ3 $\mathcal{BS}^{*}(0)$ 클래스에 대한 정확한 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-반경은 무엇이며, 다른 알려진 클래스들과 비교해보면 어떻게 되나요?
• RQ4 극한 함수 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$는 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$ 클래스에서 정확한 bound를 달성하는 데 사용될 수 있나요?
• RQ5 지수 변환을 통해 피카드 모양 클래스 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$와 호상태 클래스 $\Delta^{*}$ 사이에 기능적 관계가 존재하는가요?

주요 결과

• $\mathcal{F}_1$에 대한 정확한 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-반경은 $R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_1) = \left(\frac{\sqrt{4n^2 + (\sinh^{-1}(1}))^2} - 2n}{\sinh^{-1}(1)}\right)^{1/n}$이다.
• $\mathcal{F}_2$에 대한 정확한 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-반경은 $R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_2) = \left(\frac{\sqrt{9n^2 + 4\sinh^{-1}(1)(n + \sinh^{-1}(1))} - 3n}{2(n + \sinh^{-1}(1))}\right)^{1/n}$이다.
• $\mathcal{F}_3$에 대한 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-반경은 $\mathcal{F}_2$와 동일하며, $R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_3) = R_{\mathcal{S}^{*}_{\rho,n}}(\mathcal{F}_2)$이다.
• 극한 함수 $f_0(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sinh^{-1}(t)}{t} dt\right)$는 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$에 대해 정확한 bound를 제공하며, 급수 전개로는 $f_0(z) = z + z^2 + \frac{z^3}{2} + \frac{z^4}{9} - \frac{z^5}{72} - \cdots$로 표현된다.
• $\mathcal{BS}^{*}(0)$에 대한 $\mathcal{S}^{*}_{\rho}$-반경은 $\sinh^{-1}(1) \approx 0.881374$이며, 이는 $\mathcal{F}_1$의 반경보다 크다.
• 극한 함수가 $z = R e^{i\pi/n}$에서 $\left| \frac{zf'(z)}{f(z)} - 1 \right| = \sinh^{-1}(1)$을 만족함으로써 결과의 정확성이 입증된다.