[논문 리뷰] Geometric and monotonic properties of hyper-Bessel functions

İbrahim Aktaş, Árpád Baricz외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 14.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 31인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 정규화된 초베셀 함수의 기하학적 및 단조성 성질을 조사하며, 항성성, 볼록성 및 균일 볼록성의 반경에 초점을 맞춘다. 오일러-레일리 부등식과 라귀에르-포리아 전체 함수의 클래스를 사용하여 이러한 반경에 대한 명시적 초월 방정식과 날카운 bounds 를 유도한다. 기존의 베셀 함수에 대한 고전 결과를 초베셀 설정으로 확장하며, 첫 번째 양의 영점 및 관련 함수에 대한 정밀한 부등식을 제공한다.

ABSTRACT

Some geometric properties of a normalized hyper-Bessel functions are investigated. Especially we focus on the radii of starlikeness, convexity, and uniform convexity of hyper-Bessel functions and we show that the obtained radii satisfy some transcendental equations. In addition, we give some bounds for the first positive zero of normalized hyper-Bessel functions, Redheffer-type inequalities, and bounds for this function. In this study we take advantage of Euler-Rayleigh inequalities and Laguerre-P\'{o}lya class of real entire functions, intensively.

연구 동기 및 목표

• 기존에 고전적 베셀 함수에 대해 알려진 기하함수론 결과를 더 넓은 초베셀 함수의 범주로 확장하기 위해.
• 정규화된 초베셀 함수에 대한 항성성, 볼록성 및 균일 볼록성 반경을 결정하기 위해.
• 정규화된 초베셀 함수의 첫 번째 양의 영점 및 관련 양에 대한 날카운 bounds 를 수립하기 위해.
• 무한 곱과 합 표현식을 사용하여 영점의 단조성과 교차 성질을 분석하기 위해.
• 라귀에르-포리아 클래스와 오일러-레일리 합을 사용하여 초베셀 함수의 레드헤퍼 유형 부등식과 bounds 를 도출하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 하이퍼기하함수에서 유도된 정규화된 초베셀 함수 $ f_{\alpha_d}(z) = z J_{\alpha_d}(z) $ 의 무한합 및 곱 표현식을 사용한다.
• 오일러-레일리 부등식을 $ f_{\alpha_d}(z) $ 의 영점에 적용하며, 영점의 역수의 $ (d+1) $ 제곱에 대한 첫 번째 및 두 번째 기본 대칭합을 사용한다.
• 라귀에르-포리아 클래스를 활용하여 실수 전체 함수의 구조를 분석하고 영점의 교차성 및 단조성 성질을 증명한다.
• 로그 미분의 미분 부등식을 유도하여 항성성, 볼록성 및 균일 볼록성 반경을 특성화한다.
• 거듭제곱 급수 비율의 단조성과 료피탈의 정리의 단조형을 사용하여 비율 $ \Sigma_{\alpha_d}(x) = \frac{\log J_{\alpha_d}(x)}{\log \left(1 - \frac{x^{d+1}}{j_{\alpha_d,1}^{d+1}} \right)} $ 가 감소함을 증명한다.
• 라귀에르-포리아 클래스와 오일러-레일리 합을 분석하여 $ J_{\alpha_d}(x) $ 의 절대 단조 증가 성질을 갖는 로그 미분의 성질을 활용하여 레드헤퍼 유형 부등식과 bounds 를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 초베셀 함수의 항성성, 볼록성 및 균일 볼록성 반경이 만족하는 정확한 초월 방정식은 무엇인가?
• RQ2 정규화된 초베셀 함수의 첫 번째 양의 영점에 대한 bounds 는 고전적 베셀 함수에 대한 알려진 bounds 와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 정규화된 초베셀 함수의 영점과 그 도함수의 영점 사이의 관계는 무엇이며, 이는 교차 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 라귀에르-포리아 클래스와 오일러-레일리 합을 사용하여 초베셀 함수의 레드헤퍼 유형 부등식과 bounds 를 유도할 수 있는가?
• RQ5 고전적 베셀 함수의 기하학적 및 단조 성질이 초베셀 함수로 자연스럽게 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 항성성 반경 $ r^\star(f_{\alpha_d}) $ 는 $ z J'_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ 의 가장 작은 양의 근이며, bounds 는 $ \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^d A(\alpha_d)}{d+1}} < r^\star(f_{\alpha_d}) < \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^d A(\alpha_d)}{d+1}} $ 를 만족한다. 여기서 $ A(\alpha_d) = \prod_{i=1}^d (\alpha_i + 1) $ 이다.
• 볼록성 반경 $ r_c(f_{\alpha_d}) $ 는 $ (d+1) z J'_{\alpha_d}(z) + z^2 J''_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ 의 가장 작은 양의 근이며, $ \sqrt[d+1]{\frac{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)}{d+2}} < (r_c(f_{\alpha_d}))^{d+1} < \frac{(d+2)(d+1)^{d+1} A(\alpha_d) B(\alpha_d)}{(d+2)^2 B(\alpha_d) - (2d+3) A(\alpha_d)} $ 를 만족한다. 여기서 $ B(\alpha_d) = \prod_{i=1}^d (\alpha_i + 2) $ 이다.
• 균일 볼록성 반경 $ r_{uc}(f_{\alpha_d}) $ 는 $ 2z^2 J''_{\alpha_d}(z) + 5z J'_{\alpha_d}(z) + J_{\alpha_d}(z) = 0 $ 의 가장 작은 양의 근이며, $ (0, \psi_{\alpha_d,1}) $ 내에서 유일한 해를 만족하는 $ 1 + 2z \frac{f''_{\alpha_d}(z)}{f'_{\alpha_d}(z)} = 0 $ 으로 특성화된다.
• 함수 $ J_{\alpha_d}(z) $ 의 첫 번째 양의 영점 $ j_{\alpha_d,1} $ 은 오일러-레일리 bounds 를 만족한다: $ \frac{1}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} < \Delta_1 < \frac{1}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} $, 여기서 $ \Delta_1 = \sum_{n \geq 1} j^{- (d+1)}_{\alpha_d,n} $ 이며, $ \Delta_2 $ 와 $ \Delta_3 $ 에 대한 고차항 bounds 도 유도된다.
• 함수 $ x \mapsto \log J_{\alpha_d}(x) / \log \left(1 - x^{d+1}/j_{\alpha_d,1}^{d+1} \right) $ 는 $ (0, j_{\alpha_d,1}) $ 에서 엄격하게 감소하며, 이로 인해 $ 1 < \Sigma_{\alpha_d}(x) < \frac{j_{\alpha_d,1}^{d+1}}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} $ 라는 부등식이 유도된다.
• 함수 $ q_{\alpha_d}(x) = \exp\left( \log \left( \frac{x^{S(\alpha_d)}}{(d+1)^{S(\alpha_d)} A(\alpha_d)} \right) - \frac{x}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} \right) $ 는 $ [0, j_{\alpha_d,1}^{d+1}) $ 에서 절대 단조 증가하며, 이로 인해 레드헤퍼 유형 부등식 $ J_{\alpha_d}(x^{1/(d+1)}) \leq \frac{x^{S(\alpha_d)/(d+1)}}{(d+1)^{S(\alpha_d)} A(\alpha_d)} \exp\left( - \frac{x}{(d+1)^{d+1} A(\alpha_d)} \right) $ 이 도출된다.