[논문 리뷰] Statistical convergence of order $α$ in probability

Pratulananda Das, Sanjoy Ghosal외 1명|SHILAP Revista de lepidopterología|2016. 05. 18.

Approximation Theory and Sequence SpacesMathematics참고 문헌 29인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 확률론에서 랜덤 변수 수열의 수렴의 네 가지 새로운 방식을 소개하고 분석한다: 확률에서 순서 α에 대한 통계적 수렴, 확률에서 순서 α에 대한 강한 p-Cesàro 합산 가능성, 확률에서 순서 α에 대한 띠어진 통계적 수렴(Sθ-수렴), 그리고 확률에서 순서 α에 대한 Nθ-수렴. 주요 기여는 이러한 수렴 유형이 거의 확실히 동일한 극한을 가질 조건을 설정하는 데 있다. 특히, 어떤 수열이 순서 α에서 통계적 수렴과 순서 β에서 띠어진 통계적 수렴을 동시에 만족하고, liminf q_r > 1이며 β ≤ α일 경우, 그 극한은 거의 확실히 동일하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper ideas of different types of convergence of a sequence of random variables in probability, namely, statistical convergence of order $α$ in probability, strong $p$-Ces$\grave{\mbox{a}}$ro summability of order $α$ in probability, lacunary statistical convergence or $S_θ$-convergence of order $α$ in probability, ${N_θ}$-convergence of order $α$ in probability have been introduced and their certain basic properties have been studied.

연구 동기 및 목표

• 확률론의 맥락에서 통계적 수렴 개념을 순서 α로 확장하는 것.
• 네 가지 새로운 합산 방법을 정의하고 연구하는 것: 확률에서 순서 α에 대한 통계적 수렴, 확률에서 순서 α에 대한 강한 p-Cesàro 합산 가능성, 확률에서 순서 α에 대한 띠어진 통계적 수렴(Sθ-수렴), 그리고 확률에서 순서 α에 대한 Nθ-수렴.
• 이 네 가지 수렴 유형 간의 관계를 수립하고, 그들의 극한이 거의 확실히 동일한 데 필요한 조건을 도출하는 것.
• 특히 Bhunia 등, Colak, Fridy & Orhan 등의 이전 연구를 개선함으로써, 통계적 수렴과 합산 이론의 기존 결과를 확률적 맥락에서 일반화하는 것.

제안 방법

• 자연수의 부분집합에 대한 α-자연 밀도의 개념을 도입하여, 고전적 통계적 수렴을 순서 α로 확장한다.
• P(|X_n - X| ≥ ε) ≥ δ인 인덱스의 정규화된 수를 n^α로 나누어 극한을 취함으로써, 확률에서 순서 α에 대한 통계적 수렴을 정의한다.
• 띠어진 수열(θ = {k_r})의 개념을 적용하여, 띠어진 수열의 크기 h_r = k_r - k_{r-1}를 사용해 확률에서 순서 α에 대한 Sθ-수렴을 정의한다.
• 지수 p와 순서 α를 갖는 Cesàro 평균 유형의 합산 가능성을 사용하여, 확률에서 순서 α에 대한 강한 p-Cesàro 합산 가능성을 정의한다.
• 띠어진 간격 내 인덱스 수와 총 인덱스 수의 비율을 h_r^α로 정규화하여 Nθ-수렴 방법을 정의한다.
• 확률 부등식과 渐近 분석을 적용하여 수렴 유형을 비교하고, 극한의 동일성 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률에서 순서 α에 대한 통계적 수렴이 띠어진 통계적 수렴의 순서 β로 이르는 조건은 무엇이며, 그 반대의 경우는 어떠한가?
• RQ2 확률에서 순서 α에 대한 강한 p-Cesàro 합산 가능성과 다른 수렴 유형 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 비율 q_r = k_r / k_{r-1}가 liminf q_r > 1를 만족할 경우, 순서 α와 β의 수렴 방식은 어떻게 관련되는가?
• RQ4 어떤 수열이 서로 다른 순서 α와 β에서 통계적 수렴과 띠어진 통계적 수렴을 동시에 만족할 수 있으며, 이 경우 극한이 거의 확실히 동일한가?
• RQ5 다양한 수렴 유형의 순서 α에서 극한이 유일한 데 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 어떤 랜덤 변수 수열이 확률에서 순서 α에 대한 통계적 수렴과 순서 β에 대한 띠어진 통계적 수렴을 동시에 만족하고, liminf q_r > 1이며 β ≤ α일 경우, 그 극한은 거의 확실히 동일하다.
• 논문은 PS^α ⊂ PSθ^β가 성립하기 위해 liminf q_r > 1 조건이 필수적임을 증명하며, 이 조건이 실패할 경우 반례를 제시한다.
• 띠어진 간격에서 X_n = ±1이고, 이 외부에서는 X_n = 0 또는 1일 확률이 작은 수열은, 비록 순서 1에서 통계적 수렴을 하더라도 여전히 확률에서 순서 β에 대한 Sθ-수렴을 하지 못함을 보여준다.
• 논문은 순서 α에 대한 통계적 수렴을 통해 수렴하는 수열의 극한이 거의 확실히 띠어진 통계적 수렴의 순서 β에 대한 극한과 동일하다는 것을 증명한다.
• 저자들은 수렴 방식이 동치가 아니며, 순서 α와 β가 수렴 유형 간의 관계를 결정하는 데 핵심적인 역할을 한다고 보여준다.
• 증명 기법은 α- 및 β-정규화된 밀도를 사용하여 P(|X_n - X| ≥ ε) ≥ δ를 만족하는 집합의 측도를 유계화하는 데 기반하며, 극한이 거의 확실히 유일하지 않을 경우 모순이 발생함을 이끌어낸다.