[논문 리뷰] Stochastic homogenization of reversible random walks in random environment.

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 17.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 스케일 수렴과 $$\mathbb{G}$$-정적 측도에 대한 팔름 이론을 사용하여, $$\mathbb{R}^d$$에서의 무작위 점 측도 위에서의 비가역성 있는 무작위 보행에 대한 확률적 균질화를 확립한다. 두 번째 모멘트 조건 하에서, 타원성 또는 $D$의 비퇴화 조건을 요구하지 않고도, $L^2$-생성자와 리졸베르트가 분산 공분산 $2D$를 가진 브라운 운동으로 쿼런스 수렴함을 증명한다. 이는 무작위 도전도 및 초임계 퍼콜레이션과 같은 모델을 포함한다.

ABSTRACT

We consider random walks on the support of a random pure point measure on $\mathbb{R}^d$ with random jump probability rates. The jump range can be unbounded. The pure point measure is reversible for the random walk and stationary for the action of the group $\mathbb{G}=\mathbb{R}^d$ or $\mathbb{G}=\mathbb{Z}^d$. By combining two-scale convergence and Palm theory for $\mathbb{G}$-stationary random measures and by developing a cut-off procedure, under suitable second moment conditions we prove for almost all environments the homogenization for the massive Poisson equation of the associated Markov generators. In addition, we obtain the quenched convergence of the $L^2$-Markov semigroup and resolvent of the diffusively rescaled random walk to the corresponding ones of the Brownian motion with covariance matrix $2D$. For symmetric jump rates, the above convergence plays a crucial role in the derivation of hydrodynamic limits when considering multiple random walks with site-exclusion or zero range interaction. We do not require any ellipticity assumption, neither non-degeneracy of the homogenized matrix $D$. Our results cover a large family of models, including e.g. random conductance models on $\mathbb{Z}^d$ and on general lattices (possibly with long conductances), Mott variable range hopping, simple random walks on Delaunay triangulations, simple random walks on supercritical percolation clusters.

연구 동기 및 목표

• 무작위 점 측도 위에서의 비가역성 보행에 대한 균질화를 확립한다. $$\mathbb{R}^d$$에서의 무한한 점프 범위를 가진다.
• 분산 스케일링된 보행의 $L^2$-마코프 생성자와 리졸베르트가 분산 공분산 $2D$를 가진 브라운 운동으로 쿼런스 수렴함을 증명한다.
• 균질화된 분산 행렬 $D$에 대한 타원성 또는 비퇴화 조건이 필요 없도록 제거한다.
• 무작위 도전도, 모트의 장거리 이동, 델로아 삼각분할 또는 퍼콜레이션 클러스터 위의 단순 무작위 보행과 같은 모델로 균질화 결과를 확장한다.

제안 방법

• 두 가지 스케일 수렴과 $$\mathbb{G}$$-정적 무작위 측도에 대한 팔름 이론을 조합하여 환경의 통계적 구조를 분석한다.
• 무한한 점프 범위를 다루기 위해 컷오프 절차를 적용하고, 두 번째 모멘트 조건 하에서 수렴을 보장한다.
• 점 측도의 비가역성과 $$\mathbb{G} = \mathbb{R}^d$$ 또는 $\mathbb{Z}^d$에 대한 정적성을 이용하여 에르고딕성 및 불변성 성질을 도출한다.
• 마코프 생성자와 관련된 거대한 포아송 방정식을 분석하여 균질화 결과를 도출한다.
• 분산 스케일링된 과정의 생성자와 리졸베르트에 대한 $L^2$에서의 쿼런스 수렴을 확립한다.
• 해당 결과를 적용하여 배제 또는 제로-레인지 상호작용을 가진 상호작용 입자 시스템의 수소역학적 극한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마코프 생성자의 거대한 포아송 방정식이 환경의 점프 률과 측도에 대해 두 번째 모멘트 조건 하에서 균질화되는가?
• RQ2 균질화된 행렬 $D$에 대한 타원성 또는 비퇴화 조건 없이도 $L^2$-생성자와 리졸베르트의 쿼런스 수렴이 브라운 운동으로 성립하는가?
• RQ3 장거리 점프를 가진 모델, 예를 들어 모트의 장거리 이동 또는 일반 격자 위의 무작위 도전도에 대해 결과가 어느 정도 확장되는가?
• RQ4 두 가지 스케일 수렴과 팔름 이론의 조합이 비타원성, 비퇴화 설정에서 균질화를 가능하게 하는가?
• RQ5 점 측도의 비가역성과 $$\mathbb{G}$$-정적성은 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 두 번째 모멘트 조건 하에서 점프 률과 측도에 대해 거의 모든 환경에서 거대한 포아송 방정식이 균질화된다.
• 분산 스케일링된 보행의 마코프 생성자와 리졸베르트에 대한 쿼런스 $L^2$-수렴이 공분산 $2D$를 가진 브라운 운동으로 성립함이 입증된다.
• 균질화된 행렬 $D$는 비퇴화이거나 타원성을 만족할 필요가 없으며, 이는 퇴화 및 장거리 모델에 대한 적용 범위를 넓힌다.
• 결과는 무작위 도전도 $$\mathbb{Z}^d$$, 장거리 도전도, 모트의 장거리 이동, 델로아 삼각분할 위의 단순 무작위 보행 등 광범위한 모델 클래스에 적용된다.
• 해당 프레임워크는 배제 또는 제로-레인지 상호작용을 가진 상호작용 무작위 보행 시스템의 수소역학적 극한 유도를 지원한다.
• 컷오프 절차는 무한한 점프 범위를 효과적으로 제어하여, 균일 타원성의 부재에도 불구하고 수렴을 가능하게 한다.