[논문 리뷰] String topology and configuration spaces of two points

Florian Naef, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 두 점의 구성공간과 푸앵카레 dual 모델을 사용하여 닫힌 다양체의 자유 루프 공간의 코homology에서 스트링 토폴로지 연산—특히 차스-선휠 곱, 고레스키-힌스턴 코프로덕트, 그리고 $IBL_{\tightlceil\text{infty}\rceil}$-구조—에 대한 대수적 모델을 구축한다. 주요 기여는 코브라켓이 다양체의 구조를 유리호모토피 유형을 초월해 탐지할 수 있음을 보여주는 것으로, 미분형상군 $\tightlceil\mathrm{Diff}(M)\tightrceil$의 작용이 $\tightlceil\mathrm{aut}(M)\tightrceil$를 통해 인수화되지 않음을 증명함으로써 스트링 토폴로지가 호모토피 불변량을 초월한 기하정보를 담고 있음을 입증한다.

ABSTRACT

Given a closed manifold $M$. We give an algebraic model for the Chas-Sullivan product and the Goresky-Hingston coproduct. In the simply-connected case, this admits a particularly nice description in terms of a Poincaré duality model of the manifold, and involves the configuration space of two points on $M$. We moreover, construct an $IBL_\infty$-structure on (a model of) cyclic chains on the cochain algebra of $M$, such that the natural comparison map to the $S^1$-equivariant loop space homology intertwines the Lie bialgebra structure on homology. The construction of the coproduct/cobracket depends on the perturbative partition function of a Chern-Simons type topological field theory. Furthermore, we give a construction for these string topology operations on the absolute loop space (not relative to constant loops) in case that $M$ carries a non-vanishing vector field and obtain a similar description. Finally, we show that the cobracket is sensitive to the manifold structure of $M$ beyond its homotopy type. More precisely, the action of ${ m Diff}(M)$ does not (in general) factor through ${ m aut}(M)$.

연구 동기 및 목표

• 자유 루프 공간 $LM$의 코homology에서 차스-선휠 곱과 고레스키-힌스턴 코프로덕트에 대한 대수적 모델을 $M$ 위의 두 점의 구성공간을 사용하여 구축한다.
• 다른 점의 구성공간을 통해 $M$의 코chain 대수의 순환 체인에 $IBL_{\tightlceil\text{infty}\rceil}$-구조를 정의하며, 이는 $S^1$-동차 루프 공간 호모로지와 얽히게 한다.
• 스트링 코프로덕트와 코브라켓이 다양체 구조 $M$의 유리호모토피 유형을 초월해 그에 의존함을 보이며, 특히 $\mathrm{Diff}(M)$의 작용이 $\mathrm{aut}(M)$를 통해 인수화되지 않음을 보여줌으로써 이를 입증한다.
• 단순연결 케이스에서 푸앵카레 이중성 모델과 구성공간 자료를 통해 스트링 토폴로지 연산의 형식적 대수적 기술을 제공한다.
• 높은 차수의 스트링 토폴로지 연산이 $\mathsf{FM}_M$의 유리호모토피 유형이 섬유화된 리틀 디스크 작용소에 대한 모듈로서 결정됨을 추측한다.

제안 방법

• 구성공간의 컴actified 모델인 두 점의 구성공간 $\mathsf{FM}_M(2)$와 그 경계 포함사상 $UTM \to \mathsf{FM}_M(2)$를 사용하여 스트링 곱과 코프로덕트를 모델링한다.
• Chern-Simons 유형의 위상적 장이론에서 유도된 페르투르바티브 분할함수를 활용해, $M$의 코일레인 대수 모델의 순환 체인 위에 $IBL_{\tightlceil\text{infty}\rceil}$-구조를 구축한다.
• Lambrechts-Stanley 구성공간 모델과 그래프 복합체 모델, 특히 $\mathsf{GC}_M$을 활용하여 구성공간의 호모토피 유형을 묘사한다.
• Hochschild 및 순환 호모로지와 $M$의 dgca 모델 $A$의 코homology 사이의 관계를 이중 적분을 통해 연결하며, 단순연결 케이스에서는 동형사상이 성립함을 보인다.
• 구성공간 $\mathsf{FM}_M(2)$의 그래프 모델 위에 수축형 호모토피를 구성함으로써, 계열적 코일레인 사상의 호모토피에 대한 명시적 공식을 가능하게 한다.
• 코브라켓이 $\mathrm{Diff}(M)$의 작용에 민감함을 보이며, $M$과 관련된 자유 리대수의 도약사상의 비가환성 발산을 탐지하는 $(1 \otimes \epsilon)\delta$의 핵을 분석함으로써 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 루프 공간 $LM$의 차스-선휠 곱과 고레스키-힌스턴 코프로덕트는 $M$ 위의 두 점의 구성공간을 사용하여 대수적으로 모델링될 수 있는가?
• RQ2 $M$의 코일레인 대수의 순환 체인 위에 정의된 $IBL_{\tightlceil\text{infty}\rceil}$-구조는 $S^1$-동차 루프 공간 호모로지의 리쌍대대수적 구조를 정확히 모델링하는가?
• RQ3 스트링 코프로덕트와 코브라켓은 다양체 구조 $M$의 유리호모토피 유형을 초월해 $\mathrm{Diff}(M)$의 작용에 민감한가?
• RQ4 높은 차수의 스트링 토폴로지 연산은 $\mathsf{FM}_M$의 유리호모토피 유형이 섬유화된 리틀 디스크 작용소 $\mathsf{FM}_n^M$에 대한 모듈로서 완전히 기술될 수 있는가?
• RQ5 $\mathrm{Diff}(M)$의 작용이 스트링 토폴로지 연산에서 $\mathrm{aut}(M)$을 통해 인수화되는가, 아니면 추가적인 기하정보를 담고 있는가?

주요 결과

• 스트링 코프로덕트와 코브라켓은 경계 포함사상 $UTM \to \mathsf{FM}_M(2)$를 통해 구성되어, 이 연산들이 구성공간의 기하학적 기원을 갖는다.
• 단순연결 케이스에서는 $M$의 푸앵카레 이중성 모델을 통해 스트링 토폴로지 연산이 깔끔한 대수적 기술을 갖는다. 이때 구성공간 $\mathsf{FM}_M(2)$가 중심적인 역할을 한다.
• $A$의 순환 체인 위에 $IBL_{\tightlceil\text{infty}\rceil}$-구조를 정의하였으며, 이는 $S^1$-동차 루프 공간 호모로지로 가는 비교사상이 리쌍대대수적 구조를 유지한다.
• 코브라켓은 다양체 구조 $M$를 유리호모토피 유형을 초월해 탐지한다. $\mathrm{Diff}(M)$의 작용이 $\mathrm{aut}(M)$를 통해 인수화되지 않기 때문에 기하학적 내용이 포함되어 있음을 의미한다.
• $(1 \otimes \epsilon)\delta$의 핵은 비자명하며, 자유 리대수의 도약사상에서 비가환성 발산이 비영인 원소들을 포함한다. 이는 $\pi_*(\mathrm{Diff}(M))$의 작용이 $\mathrm{aut}(M)$를 통해 인수화되지 않음을 방해하는 장애를 제공한다.
• 논문은 높은 차수의 스트링 토폴로지 연산이 $LM$의 유리코homology 또는 코일레인에서 유도되는 모든 연산이 섬유화된 리틀 디스크 작용소 $\mathsf{FM}_n^M$에 대한 모듈로서 $\mathsf{FM}_M$의 유리호모토피 유형에 의해 결정됨을 추측한다. 이는 구성공간과 스트링 토폴로지 불변량 사이에 깊은 연결고리가 있음을 시사한다.