[논문 리뷰] Strong and weak divergence of exponential and linear-implicit Euler approximations for stochastic partial differential equations with superlinearly growing nonlinearities

Matteo Beccari, Martin Hutzenthaler외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 167인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 초선형 성장 비선형성을 갖는 스토크라스틱 편미분방정식(SPDEs)에 대해, 특히 스토크라스틱 Allen-Cahn 방정식을 중심으로, 지수 오일러 및 선형-암시적 오일러 스킴이 강한 및 수치적 약한 발산을 보임을 입증한다. 리아프노프 유형 함수와 소볼레프 포함을 통한 역 전기적 경계 분석을 통해 저자들은 시간 간격이 감소함에 따라 수치해의 p차 모멘트가 무한대로 발산함을 증명하며, 초선형 드리프트를 가진 SPDE 설정에서의 명시적 스킴 안정성 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The explicit Euler scheme and similar explicit approximation schemes (such as the Milstein scheme) are known to diverge strongly and numerically weakly in the case of one-dimensional stochastic ordinary differential equations with superlinearly growing nonlinearities. It remained an open question whether such a divergence phenomenon also holds in the case of stochastic partial differential equations with superlinearly growing nonlinearities such as stochastic Allen-Cahn equations. In this work we solve this problem by proving that full-discrete exponential Euler and full-discrete linear-implicit Euler approximations diverge strongly and numerically weakly in the case of stochastic Allen-Cahn equations. This article also contains a short literature overview on existing numerical approximation results for stochastic differential equations with superlinearly growing nonlinearities.

연구 동기 및 목표

• 초선형 성장 비선형성을 갖는 SPDEs에 대해 명시적 오일러 유형 스킴이 SODE의 경우와 마찬가지로 발산하는지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 초선형 드리프트를 갖는 1차원 SODEs에서 알려진 발산 결과를 스토크라스틱 반응-확산 방정식, 특히 Allen-Cahn 방정식을 포함한 SPDEs로 확장하기 위해.
• 이러한 SPDEs에 대해 완전 이산화된 지수 오일러 및 선형-암시적 오일러 근사가 강한 및 약한 의미에서 수렴하지 못함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 해의 급격히 증가하는 희귀 사건을 추정하기 위해 리아프노프 유형 함수와 역 그로날델 유형 부등식을 사용한 역 전기적 경계를 유도한다.
• SPDE 설정에서 경로별 정규성과 모멘트 성장 간의 관계를 설정하기 위해 소볼레프 포함 정리를 적용한다.
• 초기 자료의 尾부 추정을 활용하여, 수치해가 큰 임계값을 초과하는 희귀 사건의 확률에 하한을 설정한다.
• 공간 프로젝션과 시간 이산화를 포함한 두 가지 구체적 스킴인 지수 오일러 및 선형-암시적 오일러 스킴을 분석한다.
• SPDE 생성자에 대한 연산자 이론적 성질과 유한차원 근사를 사용하여 이산 해의 정규성과 성장률을 제어한다.
• 스킴이 모멘트 폭발을 위한 필수 구조 조건을 만족함을 입증함으로써, SPDEs에 일반적인 발산 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 성장 비선형성을 갖는 SPDEs에 대해 명시적 오일러 유형 스킴이 SODE의 경우와 같이 강한 및 약한 발산을 보이는가?
• RQ2 초선형 드리프트를 갖는 SODEs에서의 발산 현상은 Allen-Cahn 방정식과 같은 스토크라스틱 반응-확산 방정식으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 SPDEs에 대한 완전 이산화된 지수 오일러 및 선형-암시적 오일러 스킴에서 모멘트 폭발을 유도하는 초기 자료 및 노이즈 구조의 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 p ∈ (0, ∞)에 대해, 완전 이산화된 지수 오일러 근사의 p차 모멘트는 시간 간격이 0으로 갈수록 무한대로 발산한다.
• 동일한 SPDE 및 초기 자료 조건 하에서 선형-암시적 오일러 스킴에 대해서도 동일한 발산 결과가 성립한다.
• 발산는 초선형 드리프트로 인해 해 경로가 빠르게 증가하는 희귀 사건에 의해 유도되며, 초기 자료가 무거운 尾부를 갖는 경우에도 성립한다.
• 분석 결과 수치 스킴이 모멘트 경계를 유지하지 못함을 확인하여, 강한 및 약한 의미에서의 불안정성을 나타낸다.
• 공간 이산화 방법의 선택에 관계없이 안정성이 유지되며, 프로젝션 및 연산자 성질이 충족되면 성립한다.
• 이 프레임워크는 Allen-Cahn의 경우와 같이 q ≥ 2인 일반 다항식 비선형성에 적용 가능하다.