[논문 리뷰] Structure and asymptotics for Catalan numbers modulo primes using automata

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 11.

semigroups and automata theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Rowland과 Yassawi의 유한상태기계 방법을 사용하여 소수 모듈로에서 카탈란 수를 분석하며, 모든 소수 p에 대해 Cₙ ≡ 0 mod p를 만족하는 인덱스 n의 점근 밀도가 1임을 보여준다. Cₙ ≡ −1 mod p일 때 n = pᵏ − 1임을 증명하고, p-진 유한상태기계의 상태 전이를 통해 p가 Cₙ을 나누는 조건을 유도하여 구조적 결과와 밀도 결과를 도출한다.

ABSTRACT

Let $C_n$ be the $n$th Catalan number. We show that the asymptotic density of the set $\{n: C_n \equiv 0 \mod p \}$ is $1$ for all primes $p$, We also show that if $n = p^k -1$ then $C_n \equiv -1 \mod p$. Finally we show that if $n \equiv \{ \frac{p+1}{2}, \frac{p+3}{2}, ..., p-2 \} \mod p$ then $p$ divides $C_n$. All results are obtained using the automata method of Rowland and Yassawi.

연구 동기 및 목표

• 소수 모듈로에서 카탈란 수의 분포를 유한상태기계를 통해 특성화하기.
• Cₙ ≡ 0 mod p를 만족하는 인덱스 n의 점근 밀도를 결정하기.
• Cₙ이 p로 나누어지는지를 결정하는 p-진 전개에서의 숫자 패턴을 규명하기.
• 기존의 카탈란 수의 약수에 관한 결과를 p ≥ 5인 모든 소수로 확장하기 위해 기계 기반 계산을 활용하기.

제안 방법

• 다항식 전이로 정의된 유한상태기계를 통해 Cₙ mod p를 모델링하기 위해 Rowland과 Yassawi의 기계적 방법을 적용하기.
• 상태 전이를 계산하기 위해 Cartier 연산자 Λ_{d,d}를 사용하기.
• 각 상태를 x와 y에 대한 이변수 다항식으로 표현하며, 초기 상태는 R(x,y) = y(1 − 2xy − 2xy²)로 정의하기.
• 각 자릿수 d ∈ {0, ..., p−1}에 대해 Λ_{d,d}(s * Q^{p−1})를 평가하여 전이를 계산하기, 여기서 Q(x,y) = x(y+1)² − 1이다.
• 상태도를 분석하여 루프 상태, 영 상태, 금지된 자릿수 패턴을 식별하기.
• Cartier 연산자의 선형성을 활용하여 기본 사례에서 유도된 상수값 상태의 전이를 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 소수 p에 대해 {n : Cₙ ≡ 0 mod p}의 점근 밀도는 얼마인가?
• RQ2 n의 p-진 전개에서 어떤 자릿수 패턴이 p가 Cₙ를 나누게 하는가?
• RQ3 n = pᵏ − 1일 때 Cₙ mod p의 값은 얼마인가?
• RQ4 기계 프레임워크를 사용하여 소수 모듈로에서 카탈란 수의 일반적 약수 규칙을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 소수 p에 대해 {n : Cₙ ≡ 0 mod p}의 점근 밀도는 1이며, 거의 모든 카탈란 수가 p로 나누어진다.
• n ≡ d mod p이면서 d ∈ {(p+1)/2, (p+3)/2, ..., p−2}이면 p는 Cₙ를 나눈다.
• n = pᵏ − 1일 때 Cₙ ≡ −1 mod p이며, 이는 p = 2인 경우에 알려진 결과를 일반화한 것이다.
• 기계의 영 상태는 루프 상태이므로, 한 번 도달하면 기계는 영 상태에 머물르며, 이는 모든 그러한 n에 대해 Cₙ ≡ 0 mod p임을 의미한다.
• {(p+1)/2, ..., p−2}에 속하는 숫자를 포함하지 않는 p-진 수의 집합은 점근 밀도가 0이므로, 거의 모든 n에 대해 Cₙ ≡ 0 mod p임을 설명한다.
• Cₙ mod p의 기계는 최대 p+3개의 상태를 가지며, 항상 존재하는 세 개의 고정 다항식이 있다: y(1−2xy−2xy²), 2xy(y+1), 및 −(y+1).