[논문 리뷰] Subshift of finite type and self-similar sets

Kan Jiang, Karma Dajani|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반복 함수 체계(IFS)에 의해 생성된 자기유사 집합과 특정 조건 하에서 유한 타입의 하위시프트 사이의 대응 관계를 확립한다—즉, 겹침이 정확하고 끝점에서 궤도가 주기적일 경우이다. 마르코프 분할을 통해 자기유사 집합을 그래프-지향 자기유사 집합과 식별함으로써, 저자들은 마울딘-윌리엄스 이론을 적용하여 유일한 코딩과 다중 코딩을 가진 점들의 집합의 하우스도르프 차원을 계산한다. 이 방법은 $\beta$-전개와 비대칭 구멍을 가진 두배화 사상 하의 생존 집합에 적용된다.

ABSTRACT

Let $K\subset \mathbb{R}$ be a self-similar set generated by some iterated function system. In this paper we prove, under some assumptions, that $K$ can be identified with a subshift of finite type. With this identification, we can calculate the Hausdorff dimension of $K$ as well as the set of elements in $K$ with unique codings using the machinery of Mauldin and Williams \cite{MW}. We give three different applications of our main result. Firstly, we calculate the Hausdorff dimension of the set of points of $K$ with multiple codings. Secondly, in the setting of $β$-expansions, when the set of all the unique codings is not a subshift of finite type, we can calculate in some cases the Hausdorff dimension of the univoque set. Motivated by this application, we prove that the set of all the unique codings is a subshift of finite type if and only if it is a sofic shift. This equivalent condition was not mentioned by de Vries and Komornik \cite[Theorem 1.8]{MK}. Thirdly, for the doubling map with asymmetrical holes, we give a sufficient condition such that the survivor set can be identified with a subshift of finite type. The third application partially answers a problem posed by Alcaraz Barrera \cite{Barrera}.

연구 동기 및 목표

• 자기유사 집합이 $\mathbb{R}$에서 유한 타입의 하위시프트로 식별될 수 있는 조건을 확립하는 것.
• 겹침이 있는 자기유사 집합에서 유일한 코딩과 다중 코딩을 가진 점들의 집합의 하우스도르프 차원을 계산하는 것.
• 마울딘-윌리엄스 이론의 적용 범위를 $\beta$-전개와 비대칭 구멍을 가진 두배화 사상 하의 생존 집합으로 확장하는 것.
• 유일성 집합과 유한 타입의 하위시프트 사이의 관계를 명확히 하여, 유일한 코딩 집합이 유한 타입의 하위시프트일 조건이 소픽 시프트일 때뿐임을 보여주는 것.

제안 방법

• 자기유사 집합 $K$의 마르코프 분할을 구성하기 위해, 정확한 겹침과 $f_i(K)$의 끝점에서 궤도가 주기적임을 가정한다.
• 마르코프 분할을 이용해 전체 이터레이션 $\{1,\dots,m\}^\mathbb{N}$를 전이 행렬을 통해 유한 타입의 하위시프트로 변환한다.
• 마르코프 구조 덕분에 자기유사 집합 $K$를 개방 조건을 만족하는 그래프-지향 자기유사 집합과 식별한다.
• 마울딘-윌리엄스 정리를 적용하여 $K$와 유일성 집합 $U_F$와 같은 부분집합의 하우스도르프 차원을 계산한다.
• 비대칭 구멍을 가진 두배화 사상을 사용하여 생존 집합을 모델링하고, 구간에 마르코프 분할을 정의하여 하위시프트 유한 타입과의 동형을 확립한다.
• 생존 집합에서 가산적인 전이상의 점들을 제외한 부분과 하위시프트 유한 타입 사이에 동형사상 $\phi$를 정의하며, 시프트 사상에 의해 동역학이 유지됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기유사 집합 $K$가 유한 타입의 하위시프트로 식별될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 집합 $K$ 내에서 정확히 $k$개의 코딩을 가진 점들의 집합의 하우스도르프 차원은 무엇이며, $k$에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ3 유일한 코딩 집합이 유한 타입의 하위시프트가 아니면, 그 유일성 집합의 하우스도르프 차원을 계산할 수 있는가?
• RQ4 유일한 코딩 집합이 유한 타입의 하위시프트일 조건은 무엇이며, 이는 소픽 시프트와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 비대칭 구멍을 가진 두배화 사상 하의 생존 집합이 유한 타입의 하위시프트와 동형일 수 있는 충분한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 사용된 IFS가 4개의 함수를 가지며 $0 < \lambda < \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$일 경우, $U_{2^k}$의 하우스도르프 차원은 $U_1$과 동일하며, $k \neq 2^s$, $s \geq 1$일 경우 $U_k = \emptyset$이고, $U_{\aleph_0} = \emptyset$이다.
• 자기유사 집합 $K$의 임의의 점은 정확히 $2^k$개의 코딩을 가지며 $k \geq 0$이거나, 비가산적으로 많은 코딩을 가진다.
• 유일한 코딩 집합 $\widetilde{U}_F$는 소픽 시프트일 때뿐이지만, 이는 드 빌레스와 코모르니크가 이전에 언급하지 않은 조건이다.
• 비대칭 구멍 $[a,b)$를 가진 두배화 사상에서 생존 집합 $J[a,b)$의 하우스도르프 차원은 $\frac{\log \alpha}{\log 2}$이며, 여기서 $\alpha$는 인접 행렬 $S'$의 스펙트럼 반경이다.
• 가산적인 전이점들을 제외한 생존 집합 $J[a,b)$는 파리 측도를 통해 하위시프트 유한 타입 $\Sigma'$와 측도론적으로 동형이다.
• 예제 5.9에서 $a = \frac{1}{31}$, $b = \frac{2}{31}$일 경우, 인접 행렬의 스펙트럼 반경 $\alpha$는 $\alpha^4 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1$를 만족하며, 이에 따라 $\dim_H(J(a,b)) = \frac{\log \alpha}{\log 2}$이다.