[논문 리뷰] Succinct quantum proofs for properties of finite groups

John Watrous|ArXiv.org|2000. 09. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 23인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 블랙박스 유한군에서 고전적 증거(MA)가 실패하는 동안 양자 증거(QMA)가 그룹 비소속성 및 기타 그룹 성질을 간결하게 검증할 수 있음을 보여준다. 이는 임의의 군 오라클에 대해 그룹 비소속성이 QMA에 속한다는 것을 증명하며, 동시에 그 비소속성이 MA에 속하지 않는 오라클가 존재함을 보여, 해당 오라클에 대해 BQP는 MA에 포함되지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper we consider a quantum computational variant of nondeterminism based on the notion of a quantum proof, which is a quantum state that plays a role similar to a certificate in an NP-type proof. Specifically, we consider quantum proofs for properties of black-box groups, which are finite groups whose elements are encoded as strings of a given length and whose group operations are performed by a group oracle. We prove that for an arbitrary group oracle there exist succinct (polynomial-length) quantum proofs for the Group Non-Membership problem that can be checked with small error in polynomial time on a quantum computer. Classically this is impossible--it is proved that there exists a group oracle relative to which this problem does not have succinct proofs that can be checked classically with bounded error in polynomial time (i.e., the problem is not in MA relative to the group oracle constructed). By considering a certain subproblem of the Group Non-Membership problem we obtain a simple proof that there exists an oracle relative to which BQP is not contained in MA. Finally, we show that quantum proofs for non-membership and classical proofs for various other group properties can be combined to yield succinct quantum proofs for other group properties not having succinct proofs in the classical setting, such as verifying that a number divides the order of a group and verifying that a group is not a simple group.

연구 동기 및 목표

• 블랙박스 유한군의 맥락에서 양자 증거(QMA)의 능력을 조사하기 위해.
• 양자 증거가 고전적 증거보다 그룹 비소속성 문제를 더 효율적으로 해결할 수 있는지 결정하기 위해.
• 블랙박스 군 모델에서 양자 및 고전적 증거 체계 간의 분리를 수립하기 위해.
• 양자 증거와 고전적 증거를 조합하여 복잡한 군론적 성질을 위한 간결한 양자 증거를 구성하기 위해.
• 이러한 결과가 오라클 설정에서 BQP와 MA 간의 관계에 미치는 영향을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 군 원소로 생성된 부분군에서의 비소속성을 검증하기 위해 양자 증거(양자 증명서)를 사용한다.
• 오차가 제한된 다항 시간 내에 소속성을 검증하기 위해 양자 검증 절차를 적용한다.
• 특정 군 오라클을 구성하여, 그룹 비소속성이 이 오라클에 대해 MA에 속하지 않음을 증명한다.
• 비소속성에 대한 양자 증거와 부분군 성질에 대한 고전적 증명서를 조합하여 복합 문제에 대한 증거를 구축한다.
• 도달 가능성 정리와 군론적 구성법을 적용하여 약수의 순서 및 군의 단순성과 같은 성질을 검증한다.
• 일부 군 성질(예: 정규성, p-부분군 탑재)이 고전적 증명서를 허용하므로, 이를 양자 비소속성 증거와 조합할 수 있음을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 증거는 블랙박스 군에서 그룹 비소속성에 대해 간결한 검증을 제공할 수 있는가?
• RQ2 그룹 비소속성이 MA에 속하지 않지만 QMA에 속하는 오라클이 존재하는가?
• RQ3 양자 증거는 고전적 증명서와 조합되어 복잡한 군 성질에 대한 간결한 증거를 제공할 수 있는가?
• RQ4 그룹 성질에 대한 간결한 양자 증거의 존재는 BQP와 MA 사이의 분리를 암시하는가?
• RQ5 군론적 문제의 맥락에서 QMA와 PP 또는 co-NP와 같은 다른 복잡도 클래스 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 군 오라클에 대해 그룹 비소속성이 QMA에 속하며, 이는 유한 길이의 양자 증거가 유한 오차로 다항 시간 내에 검증 가능하다는 것을 의미한다.
• 그룹 비소속성이 MA에 속하지 않는 군 오라클이 존재하며, 이는 블랙박스 군 모델에서 QMA와 MA 간의 분리를 보여준다.
• 이 분리는 해당 오라클에 대해 BQP가 MA에 포함되지 않음을 암시하며, BQP와 MA 간의 상대화된 분리를 확립한다.
• 어떤 오라클에 대해 MA에 속하지 않더라도, 그룹의 순서를 나누는 수를 검증하는 문제에 대해 간결한 양자 증거가 존재한다.
• 비소속성에 대한 양자 증거는 고전적 증명서와 조합되어 진정한 부분군, 단순성, 교차, 중심화자, 최대 정규 부분군 등의 성질에 대한 간결한 양자 증거를 제공할 수 있다.
• QMA는 PP에 포함되며, 본 논문은 QMA가 PP에 의해 상한이 주어질 수 있음을 제안하지만, 더 강한 상한은 여전히 열려 있다.