[논문 리뷰] Supersymmetric quantum mechanics based on higher excited states II: a few examples of isospectral partner potentials

Marko Robnik, Junxian Liu|ArXiv.org|1997. 03. 14.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초대칭 양자역학을 고려하여, 기본 상태를 초월해 고에너지 상태(높은 에너지 상태)를 사용하여 등스펙트럴 파트너 포텐셜을 구성함으로써 이를 확장한다. 이 형식론이 무한한 새로운 해석 가능한 포텐셜의 가족을 생성함을 보여주며, 주요 1차원 시스템인 조화 진동자, 케플러 문제, 모어스 포텐셜, 포스-텔러 포텐셜 및 무한 우물에 적용하여, 무한 우물을 제외한 모든 시스템에서 새로운 해석 가능한 포텐셜을 도출함을 보여준다. 반면 무한 우물의 파트너 포텐셜은 특수한 포스-텔러 타입 I 포텐셜임을 확인한다.

ABSTRACT

We apply the generalized formalism and the techniques of the supersymmetric (susy) quantum mechanics to the cases where the superpotential is generated/defined by higher excited eigenstates (Robnik 1997, paper I). The generalization is technically almost straightforward but physically quite nontrivial since it yields an infinity of new classes of susy-partner potentials, whose spectra are exactly identical except for the lowest $n+1$ states, if the superpotential is defined in terms of the $(n+1)$-st eigenfunction, with $n=0$ reserved for the ground state. First we show that there are practically no possibilities for shape invariant potentials based on higher excited states. Then we calculate the isospectral partner potentials for the following 1-dim potentials (after separation of variables where appropriate): (i) 3-dim (spherically symmetric) harmonic oscillator, (ii) 3-dim (isotropic) Kepler problem, (iii) Morse potential, (iv) Pöschl-Teller type I potential, and (v) the 1-dim box potential. In all cases except in (v) we get new classes of solvable potentials. In (v) the partner potential to the box potential is a special case of Pöschl-Teller type I potential. potentials. In this paper we present results of a straightforward further application of this formalism to a few most important exactly solvable 1-dim potentials, namely (i) spherically symmetric 3-dim harmonic oscillator, (ii) 3-dim isotropic (spherically symmetric) Kepler potential, (iii) Morse potential, (iv) Pöschl-Teller type I potential, and (v) 1-dim box potential. PACS numbers: 03.65.-w, 03.65.Ge, 03.65.Sq

연구 동기 및 목표

• 초대칭 양자역학을 기본 상태를 초월해 고에너지 상태로 일반화하는 것.
• 고에너지 상태에서 형성된 형태가 불변하는 포텐셜이 존재하는지 탐색하는 것.
• 기본적인 정확히 해석 가능한 1차원 양자 시스템에 대해 등스펙트럴 파트너 포텐셜을 체계적으로 유도하는 것.
• 이 일반화된 형식론에서 유래하는 새로운 종류의 해석 가능한 포텐셜을 식별하는 것.
• 이 프레임워크를 통해 무한 우물과 포스-텔러 타입 I 포텐셜 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 기본 상태가 아닌 n ≥ 1 인 (n+1)-번째 고에너지 상태의 파동함수로부터 슈퍼파텐셜을 정의하는 것.
• 표준 초대칭 양자역학 형식론을 사용하여 슈퍼파텐셜에서 파트너 해밀토니안 H±를 구성하는 것.
• 관계식 V+(x) = W²(x) - W'(x) 를 통해 슈퍼파텐셜 W(x) 로부터 파트너 포텐셜 V+(x) 를 유도하는 것.
• 3차원 구형 대칭 시스템에 대해 변수 분리 후 초대칭 형식론을 적용하는 것.
• 낮은 n+1 개의 에너지 수준를 제외한 동일한 스펙트럼을 보여줌으로써 등스펙트럴성을 검증하는 것.
• 유도된 파트너 포텐셜의 해석 가능성과 구조적 성질을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고에너지 상태를 기반으로 한 초대칭 양자역학이 새로운 종류의 등스펙트럴 포텐셜을 생성할 수 있는가?
• RQ2 이 형식론에서 고에너지 상태를 사용할 경우 형태가 불변하는 포텐셜이 존재하는가?
• RQ3 이 확장된 형식론 하에서 3차원 조화 진동자와 케플러 문제의 등스펙트럴 파트너 포텐셜은 무엇인가?
• RQ4 이 초대칭 구성 방식에서 무한 우물은 어떻게 변환되는가?
• RQ5 이 프레임워크에서 포스-텔러 타입 I 포텐셜이 무한 우물의 파트너로 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 슈퍼파텐셜을 고에너지 상태에서 유도할 경우, 이 형식론이 무한한 새로운 등스펙트럴 파트너 포텐셜의 가족을 성공적으로 생성함을 확인하였다.
• 고에너지 상태에서 유도된 클래스에서 형태가 불변하는 포텐셜은 발견되지 않았으며, 이는 이러한 대칭성을 갖는 포텐셜을 생성하는 데 있어 이 접근법의 근본적인 한계를 시사한다.
• 3차원 등방성 조화 진동자에 대해, 이 방법은 새로운 종류의 해석 가능한 파트너 포텐셜을 도출한다.
• 3차원 케플러 문제의 등스펙트럴 파트너 포텐셜 역시 원래 포텐셜과 다름없는 새로운 해석 가능한 포텐셜임을 확인하였다.
• 모어스 포텐셜과 포스-텔러 타입 I 포텐셜은 모두 이 구성 방식에서 새로운 해석 가능한 등스펙트럴 파트너를 도출한다.
• 무한 우물의 등스펙트럴 파트너는 특수한 포스-텔러 타입 I 포텐셜임을 확인하였으며, 이는 이전에 알려진 바 있으나 보다 체계적으로 유도되지 않았던 결과를 확인한다.