[논문 리뷰] Symmetry Groups of Principal Bundles Over Non-Compact Bases

Jakob Schuett|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩트 기저를 가진 주 G-bundle에 대해, 컴팩트하게 지지된 번들 자기동형사상군 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$와 그 부분군인 게이지 군 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$에 대해 엄밀한 무한차원 리 군 구조를 수립한다. 이는 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$의 열린 부분군에 의한 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$에 의한 비아벨 리 군 확장으로서 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$를 구성하며, 게이지 군이 약한 사영곱의 맵핑 군들에 의한 직접곱을 통해 리 구조를 상속할 수 있도록 보장하는 새로운 성질 $\text{SUB}_{\oplus}$를 사용한다.

ABSTRACT

In this work, we describe how to obtain the structure of an infinite-dimensional Lie group on the group of compactly carried bundle automorphisms Autc(P) for a locally convex prinicpal bundle P over a finite-dimensional smooth sigma-compact base M. This is a generalization of previous work by Wockel, where the base M was compact. We first consider the Lie group structure on the group of compactly carried vertical bundle morphisms Gauc(P) (in both cases "compactly carried" refers to being compactly carried on the base in a certain sense). We then introduce the Lie group structure on Autc(P) as an extension of a certain open Lie subgroup of the compactly carried diffeomorphisms Diffc(M) by the gauge group Gauc(P). We find an explicit condition on P ensuring that Gauc(P) can be equipped with a Lie group structure enabling the extension just mentioned and show that this condition is satisfied by selected classes of bundles.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 기저 위의 주 번들에 대해 컴팩트하게 지지된 번들 자기동형사상군 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$에 자연스러운 무한차원 리 군 구조를 정의하는 것.
• 게이지 군 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$가 구조군 $G$로의 맵핑 군들의 약한 사영곱에 대한 닫힌 부분군으로서 실현될 수 있음을 보이는 것.
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$가 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$의 열린 부분군에 의한 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$에 의한 비아벨 리 군 확장임을 확립하여 매끄러운 구조와의 호환성을 보장하는 것.
• $\text{SUB}_{\oplus}$ 성질을 도입하고 검증하여, 약한 사영곱의 닫힌 부분군이 무한차원 설정에서 리 군 구조를 상속할 수 있는 충분조건임을 보이는 것.
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$의 리 군 구조가 자명화 체계와 분할 단위의 선택에 영향을 받지 않음을 증명하여 일관성을 확보하는 것.

제안 방법

• 상대적으로 컴팩트하고 국소적으로 유한한 자명화 집합 $\overline{V}_i$에 대해, 직접합 $\bigoplus_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, \mathfrak{g})$에 의한 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$의 모델링.
• 게이지 군을 약한 사영곱 $\prod^{\ast}_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, G)$의 닫힌 부분군으로 표현하여 무한차원 미적분학의 적용을 가능하게 하는 것.
• $\text{SUB}_{\oplus}$ 성질을 도입하여, 무한직접합에서 닫힌 부분군에 대해 부분다양체 차트가 존재하도록 보장하는 $\text{SUB}$ 성질의 일반화.
• $\mathrm{Diff}_{c}(M)$이 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$에 작용하는 매끄러운 인자 체계를 정의하여 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$를 리 군 확장으로 구성하는 것.
• 리 군 차트와 국소 자명화의 푸시포워드를 사용하여 매핑 공간과 자기동형사상군 위의 전역 차트를 정의하는 것.
• 자명화 체계의 전이 함수와 매개변수에 대한 매끄러운 의존성에 기반한 명시적 공식을 통해 전이 매핑의 매끄러움을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 기저 위의 주 번들에 대해 게이지 군 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$는 일관된 무한차원 리 군 구조를 가질 수 있는가?
• RQ2 약한 사영곱의 맵핑 군들의 닫힌 부분군이 언제 리 군 구조를 상속하는가?
• RQ3 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$는 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$에 의한 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$에 의한 확장으로 자연스럽게 리 군 구조로 확장될 수 있는가?
• RQ4 자명화 체계와 분할 단위의 선택은 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$에 대한 결과 리 군 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 국소 데이터와 전이 함수를 사용하여 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$의 군 연산의 매끄러움을 검증할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$는 약한 사영곱 $\prod^{\ast}_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, G)$의 닫힌 부분군으로서의 군으로서의 동형을 가지며, 이는 그 리 군 구조에 대한 구체적인 모델을 제공한다.
• $\text{SUB}_{\oplus}$ 성질이 도입되었고, 이는 약한 사영곱의 리 군들의 닫힌 부분군이 무한차원 설정에서 리 군 구조를 상속할 수 있음을 보장하는 충분조건으로 증명되었다.
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$는 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$의 열린 부분군에 의한 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$에 의한 비아벨 리 군 확장이 되며, 명시적 전이 공식을 통한 매끄러운 인자 체계의 검증을 통해 고유한 리 군 구조를 가진다.
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$에 대한 결과 리 군 구조는 자명화 체계와 분할 단위의 선택에 영향을 받지 않으며, 이sovorphism에 대해 일관성을 유지한다.
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 위의 항등사상은 서로 다른 자명화 체계 간 비교 시 매끄럽다. 이는 구성의 강건성을 확인한다.
• 논문은 $\text{SUB}_{\oplus}$ 성질이 성립하는 명시적 조건을 제공하며, 이는 $\sigma$-콤팩트 다양체 위의 많은 표준적 주 번들 클래스에 대해 성립한다.