[논문 리뷰] Symmetry-Preserving Quadratic Lindbladian and Dissipation Driven Topological Transitions in Gaussian States

Liang Mao, Fan Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 11.

Advanced Thermodynamics and Statistical MechanicsPhysics and Astronomy참고 문헌 46인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 개방 양자 시스템에서 린드블라디안 진동에 따라 밀도 행렬의 위상구조—그 모듈러 해밀토니안의 위상구조 불변량으로 특징지어지는—동적 전이를 겪을 수 있다고 제안한다. 페르미온 가우시안 상태의 경우 대칭을 유지하는 린드블레안 연산자는 모듈러 해밀토니안의 대칭 클래스를 유지하므로, 초기 상태가 비자명한 경우 위상 전이가 발생할 수 있다. 이는 AIII 및 DIII 대칭 클래스에서 밀도 행렬 고유값 스펙트럼의 서명을 통해 확인된다.

ABSTRACT

The dynamical evolution of an open quantum system can be governed by the Lindblad equation of the density matrix. In this paper, we propose to characterize the density matrix topology by the topological invariant of its modular Hamiltonian. Since the topological classification of such Hamiltonians depends on their symmetry classes, a primary issue we address is determining the requirement for the Lindbladian operators, under which the modular Hamiltonian can preserve its symmetry class during the dynamical evolution. We solve this problem for the fermionic Gaussian state and for the modular Hamiltonian being a quadratic operator of a set of fermionic operators. When these conditions are satisfied, along with a nontrivial topological classification of the symmetry class of the modular Hamiltonian, a topological transition can occur as time evolves. We present two examples of dissipation-driven topological transitions where the modular Hamiltonian lies in the AIII class with U(1) symmetry and the DIII class without U(1) symmetry. By a finite size scaling, we show that this density matrix topology transition occurs at a finite time. We also present the physical signature of this transition.

연구 동기 및 목표

• 개방 양자 시스템에서 린드블라디안 진동 중 밀도 행렬의 위상이 동적으로 전이될 수 있는지 조사하기.
• 가우시안 상태에서 린드블레안 연산자가 모듈러 해밀토니안의 대칭 클래스를 유지하는 조건을 규명하기.
• 초기 모듈러 해밀토니안이 시스템 해밀토니안과 관련이 없더라도 위상 전이가 발생할 수 있음을 보여주기.
• 밀도 행렬 고유값 스펙트럼을 통해 이러한 전이의 측정 가능한 서명을 제공하기.

제안 방법

• 모듈러 해밀토니안은 $ \hat{\rho} = e^{-\hat{K}} $로 정의되며, $ \hat{K} $는 페르미온 이차형 연산자이다.
• AIII 및 DIII에 중점을 두어, 알트란드-지르니바우 대칭 클래스 내에서 $ \hat{K} $의 위상분류를 분석한다.
• 린드블레안 연산자가 $ \hat{K} $의 대칭 작용과 가환함을 보장함으로써 대칭을 유지하는 린드블레안을 유도한다. 조건은 $ \mathcal{S} \hat{L}_{\mu} \mathcal{S}^{-1} = \hat{L}_{\mu} $이다.
• 린드블라드 방정식에 따라 $ \hat{K} $의 시간 진동을 계산하고, 위상구조 불변량의 변화를 추적한다.
• 두 모델에 대해 수치 시뮬레이션을 수행한다: 하나는 U(1) 대칭이 있는 AIII 클래스, 다른 하나는 U(1) 대칭이 없는 DIII 클래스이다.
• 전이는 임계 시간에서 밀도 행렬 고유값의 순수도 갭이 사라지는 것으로 진단된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개방 양자 시스템에서 린드블라디안 진동 중 밀도 행렬의 위상, 즉 모듈러 해밀토니안에 의해 코딩된 위상이 동적으로 전이될 수 있는가?
• RQ2 린드블레안 연산자가 모듈러 해밀토니안의 대칭 클래스를 시간 진동 중에 유지하기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ3 밀도 행렬 고유값 스펙트럼에서 위상 전이의 측정 가능한 서명은 무엇인가?
• RQ4 초기 상태가 위상적으로 비자명하지만 안정 상태는 자명한 경우, 모듈러 해밀토니안의 위상구조 불변량은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 이러한 전이들은 실험적으로 관측될 수 있으며, 어떤 물리적 관측량이 이를 신호로 줄 수 있는가?

주요 결과

• 초기 상태가 위상적으로 비자명하고 안정 상태가 자명한 경우, 대칭을 유지하는 린드블레안에 의해 모듈러 해밀토니안에서 위상 전이가 발생한다.
• AIII 클래스 예제에서, 임계 시간에 비틀림 수가 1에서 0으로 변화하고, 모듈러 해밀토니안이 갭 없는 상태가 되면서 순수도 갭이 사라진다.
• DIII 클래스 예제에서, 후-카인 $ Z_2 $ 불변량은 -1(비자명)에서 +1(자명)으로 전이되며, 전이점에서 순수도 갭이 사라지는 것으로 확인된다.
• 밀도 행렬의 고유값은 전이 시에 명확한 서명을 보인다: 가장 큰 고유값 $ \lambda_0 $가 나머지 고유값들로부터 유한한 갭으로 분리되지 않는다.
• 린드블레안 연산자가 관련 대칭(예: U(1), 시간 역행, 케이릴 대칭)을 유지하는 한 조건을 충족하면 전이는 강건하며, $ \hat{K} $의 대칭 클래스가 유지됨을 보장한다.
• 결과는 AIII 클래스에서 앙상블 기하 위상이 위상구조 불변량의 측정 가능한 탐사도구가 될 수 있으며, 실험적 서명으로서의 잠재적 가능성을 시사한다.