[논문 리뷰] Symmetry-resolved Entanglement Entropy, Spectra & Boundary Conformal Field Theory

Yuya Kusuki, Sara Murciano외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 06.

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한 줄 요약

이 논문은 유한하거나 컴act Lie 군 대칭을 가진 1+1차원 CFT에서 대칭을 고려한 엔트로피(entanglement entropy)를 계산하기 위한 포괄적인 경계 conformal field theory (CFT) 프레임워크를 제시한다. 이는 대칭을 고려한 엔트로피(entanglement entropy)의 보편적인 주요 항과 첫 번째 보정항을 유도하기 위해 두 가지 별개의 방법—대칭 결합 모멘트를 통한 결함선 작용과 오비폴드 CFT dualities—을 도입한다. 이는 엔트로피의 등분할을 명백히 위반한다. Tauberian 형식론을 사용하여 대칭을 고려한 엔트로피 스펙트럼에 대한 엄밀한 경계를 수립하였으며, 아벨 군의 경우 정확한 일치를 보였다.

ABSTRACT

We perform a comprehensive analysis of the symmetry-resolved (SR) entanglement entropy (EE) for one single interval in the ground state of a $1+1$D conformal field theory (CFT), that is invariant under an arbitrary finite or compact Lie group, $G$. We utilize the boundary CFT approach to study the total EE, which enables us to find the universal leading order behavior of the SREE and its first correction, which explicitly depends on the irreducible representation under consideration and breaks the equipartition of entanglement. We present two distinct schemes to carry out these computations. The first relies on the evaluation of the charged moments of the reduced density matrix. This involves studying the action of the defect-line, that generates the symmetry, on the boundary states of the theory. This perspective also paves the way for discussing the infeasibility of studying symmetry resolution when an anomalous symmetry is present. The second scheme draws a parallel between the SREE and the partition function of an orbifold CFT. This approach allows for the direct computation of the SREE without the need to use charged moments. From this standpoint, the infeasibility of defining the symmetry-resolved EE for an anomalous symmetry arises from the obstruction to gauging. Finally, we derive the symmetry-resolved entanglement spectra for a CFT invariant under a finite symmetry group. We revisit a similar problem for CFT with compact Lie group, explicitly deriving an improved formula for $U(1)$ resolved entanglement spectra. Using the Tauberian formalism, we can estimate the aforementioned EE spectra rigorously by proving an optimal lower and upper bound on the same. In the abelian case, we perform numerical checks on the bound and find perfect agreement.

연구 동기 및 목표

• 유한하거나 컴 pact Lie 군 대칭을 가진 1+1차원 conformal field theory(CFT)에서 대칭을 고려한 엔트로피(entanglement entropy)를 계산하기 위한 보편적 프레임워크를 개발하는 것.
• 비아벨 및 컴 pact 대칭이 존재하는 상황에서 엔트로피가 대칭 섹터에 균일하게 분포하는지(등분할)에 대한 오랫동안 남아있던 질문을 해결하는 것.
• SREE와 오비폴드 CFT의 분할 함수 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립하여, 대칭 결합 모멘트에 의존하지 않고 직접 SREE를 계산할 수 있도록 하는 것.
• 특히 아벨 군과 U(1) 대칭에 대해 Tauberian 형식론을 적용하여 대칭을 고려한 엔트로피 스펙트럼에 대한 정확한 경계를 유도하는 것.
• 대칭이 이상형인 경우 SREE 정의가 방해당하는 이유를 규명하고, 이를 게이지화할 수 없는 것과 연결하는 것.

제안 방법

• 경계 CFT 기법을 사용하여 총 엔트로피를 계산하고, 비틀린 경계 상태를 통해 대칭을 고려한 성분을 추출한다.
• 감마-중심 모멘트를 사용하여 감마-중심 밀도 행렬의 행동을 분석하고, 대칭 결함선이 경계 상태에 작용하는 방식을 통해 SREE를 계산한다.
• SREE와 오비폴드 CFT의 분할 함수 사이의 이중성을 수립하여, 중간 단계인 대칭 결합 모멘트 계산 없이도 직접 SREE를 계산할 수 있도록 한다.
• 모듈러 S-행렬과 twining 특성수를 사용하여 개방-폐쇄 이중성에 대해 일관성을 확보하는 방식으로, ω-비틀린 경계 상태를 정의하기 위해 비틀린 Cardy 구성법을 적용한다.
• 특히 아벨 군에 대해 Tauberian 형식론을 적용하여 대칭을 고려한 엔트로피 스펙트럼에 대한 최적의 하한 및 상한을 도출한다.
• 안정자 조건과 기약 표현에 대한 군 작용을 사용하여 어떤 표현이 SREE에 기여할 수 있는지 제약을 둔다. 특히 이상적 대칭의 경우에 대해 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1차원 CFT에서 유한하거나 컴 pact Lie 군 대칭을 가진 경우 대칭을 고려한 엔트로피(entanglement entropy)는 어떻게 행동하는가? 그 보편적인 주요 항 형태는 무엇인가?
• RQ2 대칭군의 기약 표현에 대해 엔트로피는 어느 정도 등분할되어 있으며, 보정항은 이러한 등분할을 어떻게 깨는가?
• RQ3 SREE는 오비폴드 CFT 이중성에 의해 직접 계산될 수 있는가? 이는 대칭 결합 모멘트의 필요성을 피할 수 있는가?
• RQ4 이상적 대칭이 SREE 정의를 방해하는 정확한 역할은 무엇이며, 이는 대칭을 게이지화할 수 없는 것과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 대칭을 고려한 엔트로피 스펙트럼은 어떻게 엄밀하게 경계를 정할 수 있으며, 아벨 군의 경우 이러한 경계의 정확도는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 유한하거나 컴 pact Lie 군 G에 대해 SREE의 보편적인 주요 항이 도출되었으며, 첫 번째 보정항은 기약 표현에 명시적으로 의존하여 엔트로피의 등분할을 깨뜨린다.
• U(1) 대칭의 경우, 이전 문헌에서의 결과를 일반화한 개선된 대칭을 고려한 엔트로피 스펙트럼 공식이 도출되었다.
• Tauberian 형식론은 아벨 군의 경우에 정확한 최적의 하한 및 상한을 제공하며, 수치적으로 완벽한 일치를 보였다.
• 대칭 결합 모멘트와 오비폴드 이중성의 두 방법 모두 동일한 결과를 도출하였으며, 후자는 중간 단계인 대칭 결합 모멘트 평가 없이도 SREE 계산에 직접적인 길을 제공한다.
• 이상적 대칭은 SREE 정의를 방해하며, 이는 게이지화가 불가능하기 때문이며, 이 장애는 오비폴드 접근법에서 비틀린 Cardy 조건의 실패와 동치임을 보였다.
• 이 논문은 오직 군 원소 ω에 의해 고정되는 표현들(즉, λ ∈ I(ω))만이 ω-비틀린 경계 상태에 기여하며, 이는 모듈러 불변성과의 일관성을 보장한다.