[논문 리뷰] Anomalies of $(1+1)D$ categorical symmetries

Carolyn Zhang, Clay Córdova|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 30

한 줄 요약

본 논문은 Drinfeld centers와 magnetic Lagrangian algebras를 이용한 bulk (2+1)D 접근법을 도입하여 (1+1)D에서의 융합 범주 대칭의 anomaly를 탐지하고, Tambara-Yamagami 카테고리의 obstructions 및 예제를 제시한다.

ABSTRACT

We present a general approach for detecting when a fusion category symmetry is anomalous, based on the existence of a special kind of Lagrangian algebra of the corresponding Drinfeld center. The Drinfeld center of a fusion category $\mathcal{A}$ describes a $(2+1)D$ topological order whose gapped boundaries enumerate all $(1+1)D$ gapped phases with the fusion category symmetry, which may be spontaneously broken. There always exists a gapped boundary, given by the \emph{electric} Lagrangian algebra, that describes a phase with $\mathcal{A}$ fully spontaneously broken. The symmetry defects of this boundary can be identified with the objects in $\mathcal{A}$. We observe that if there exists a different gapped boundary, given by a \emph{magnetic} Lagrangian algebra, then there exists a gapped phase where $\mathcal{A}$ is not spontaneously broken at all, which means that $\mathcal{A}$ is not anomalous. In certain cases, we show that requiring the existence of such a magnetic Lagrangian algebra leads to highly computable obstructions to $\mathcal{A}$ being anomaly-free. As an application, we consider the Drinfeld centers of $\mathbb{Z}_N imes\mathbb{Z}_N$ Tambara-Yamagami fusion categories and recover known results from the study of fiber functors.

연구 동기 및 목표

• (1+1)D에서의 ’t Hooft anomaly를 융합 범주 대칭에 대해 동기 부여하고 분류
• Z[A]의 magnetic Lagrangian algebras를 이용한 bulk (2+1)D 기준을 개발하여 anomaly를 탐지
• 센터의 boson 내용과 fiber functor 데이터와 관련된 장애에 anomaly 존재와의 연계를 밝힘
• Tambara-Yamagami 융합 카테고리, 특히 ZN×ZN인 경우에 프레임워크를 적용하고 fiber functor로부터 알려진 결과를 회복
• 엣지 기반과 벌크 기반 관점에서 비-이상(비 anomaly) 융합 범주 대칭과 이상(Anomalous) 대칭을 설명

제안 방법

• Drinfeld center Z[A]를 이용해 A의 (2+1)D 위상질서를 설명하고, 이 위상질서의 gapped 경계가 (1+1)D 대칭 A를 가진 위상을 열거하도록 함
• 전기 Lagrangian algebra L_e가 완전한 대칭 파괴 경계를 설명하고 자기적, 대칭적이고 gap인 경계를 설명하는 L_m을 설명
• Z[A]에 L_m이 존재하고 L_e와 삼중적으로 교차하지 않는 것을 요구하여 anomaly-프리(for anomaly-freedom)임을 인증; L_m의 장애는 anomaly를 시사
• Lagrangian algebra의 성질과 TQFT의 boson 내용(예: boson의 수)으로부터 anomaly-프리 여부에 대한 computable한 장애를 도출
• TY_G^χ,ε (특히 G ≅ Z_N × Z_N일 때 N=2 및 N>2, N odd) 카테고리를 분석하고 알려진 fiber functor 결과와 비교
• 아벌루브(abelian) 대 중심(central)과 비-아벌루브 중심 및 관련 경계 응집 및 Lagrangian 부분군을 논의

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Z[A]에서 대칭 A가 대칭적이고 gapped (1+1)D 경계를 생성하는 magnetic Lagrangian algebra L_m을 가질 수 있는가?
• RQ2 Z[A]에서 L_m의 존재에 대한 장애를 효율적으로 계산하여 Lagrangian algebras 전체를 구성하지 않고도 A의 anomaly를 탐지할 수 있는가?
• RQ3 특히 TY_{Z_N×Z_N}^{χ,ε} 카테고리는 magnetic Lagrangian algebra 기준 아래에서 anomaly를 보이며 아니면 anomaly-프리한가?
• RQ4 fiber functors, Lagrangian algebras, (1+1)D SPT를 구현하는 A의 존재 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 가역적 vs 비가역적 대칭은 Drinfeld center 프레임워크에서 anomaly를 어떻게 나타내는가?

주요 결과

• 융합 범주 대칭 A가 anomaly-프리하려면 Z[A]가 L_e와 교차하지 않는 L_m를 허용하는 magnetic Lagrangian algebra를 갖는 경우이다.
• L_m의 존재에 대한 장애는 L_m 전체 구성 없이도 anomaly를 위한 매우 계산 가능한 기준을 제공할 수 있다.
• 아벌리안 중심 Z[Vec_G^ω]의 경우 특정 Type-I, Type-II 코사클이 anomaly를 초래하며, 알려진 코사클 분류와 일치한다.
• G = Z_N × Z_N인 Tambara-Yamagami 카테고리에서 N과 F 기호의 특정 선택은 이전 결과와 일치하는 anomaly를 생성한다.
• 명시적 예시로 Vec_{Z_2}^ω는 Trivial ω에 대해 anomaly-프리하지만 nontrivial ω에 대해서는 anomaly가 있음을 보여주며, 이는 해당 Z 중심에서 magnetic Lagrangian 부분군의 존재 여부로 설명된다.
• 이 프레임워크는 (1+1)D SPT 분류와 anomaly 구조를 bulk (2+1)D 위상질서 및 그들의 gapped boundary와 연결한다.