[논문 리뷰] Systems of ergodic BSDEs arising in regime switching forward performance processes

Ying Hu, Gechun Liang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 04.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 32인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 제어 이론과 긴장된 성장률을 연결하는 새로운 다차원 역확률미분방정식(BSDE)의 클래스인 에르고딕 BSDE 시스템을 도입하고 해결하여, 제도 전환 금융 시장에서의 전방 성과 과정과 최적 전략을 특성화한다. 주요 기여는 제곱형 성장과 제도 전환 역학 하에서 해의 존재성과 유일성을 증명하며, 이는 유용성 최적화 문제에서 장기 성장률과 제곱형 해밀토니안을 가진 PDE의 장기적 행동과 연결된다.

ABSTRACT

We introduce and solve a new type of quadratic backward stochastic differential equation systems defined in an infinite time horizon, called \\emph{ergodic BSDE systems}. Such systems arise naturally as candidate solutions to characterize forward performance processes and their associated optimal trading strategies in a regime switching market. In addition, we develop a connection between the solution of the ergodic BSDE system and the long-term growth rate of classical utility maximization problems, and use the ergodic BSDE system to study the large time behavior of PDE systems with quadratic growth Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 다양한 제도를 가진 금융 시장에서 전방 성과 과정을 모델링할 수 있는 무한수명 BSDE 시스템의 새로운 클래스를 개발하는 것.
• 제곱형 성장과 제도 전환 역학 하에서 이러한 에르고딕 BSDE 시스템의 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 에르고딕 BSDE 시스템의 해가 고전적 유용성 최적화 문제에서 장기 성장률과 어떻게 연결되는지 밝혀내는 것.
• 제곱형 해밀토니안을 가진 PDE 시스템의 장시간 행동을 에르고딕 BSDE 프레임워크를 통해 분석하는 것.
• 결합된 BSDE 시스템을 통해 마코프 전방 성과 과정 이론을 제도 전환 환경으로 확장하는 것.

제안 방법

• 전이 비율을 통해 제도 간 상호작용을 포함하는 드라이버를 가진 제도 전환 역학을 가진 무한수명 제곱형 BSDE 시스템을 수립하는 것.
• 유계성과 성장 조건 하에서 다차원 BSDE의 비교 정리를 사용하여 해의 유일성과 안정성을 확립하는 것.
• 확률적 지수를 통한 측도 전환 기법을 적용하여 원래의 확률 공간을 변형하고 등가 측도 하에서 역학을 단순화하는 것.
• 모멘트 및 결합 추정을 활용하여 해의 성장을 통제하고, 유한한 시간 수평선에서 0으로 수렴함을 증명하는 것.
• 기저 확산 및 마코프 체인 과정의 가측 함수를 통해 해의 마코프 표현을 구성하는 것.
• 가치 함수의 에르고딕 극한을 이용하여 장기 성장률을 식별하고, 해가 에르고딕 제어 문제와 연결됨을 밝혀내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제도 전환 시장에서 전방 성과 과정을 모델링하기 위해 무한수명 BSDE 시스템을 수립할 수 있는가?
• RQ2 제곱형 성장과 제도 간 상호작용 조건 하에서 이러한 에르고딕 BSDE 시스템의 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 에르고딕 BSDE 시스템의 해는 유용성 최적화 문제에서 장기 성장률과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 제곱형 해밀토니안을 가진 PDE 시스템의 장시간 행동은 무엇이며, 어떻게 에르고딕 BSDE를 통해 특성화할 수 있는가?
• RQ5 결합된 BSDE 시스템을 통해 마코프 표현의 전방 성과 과정을 제도 전환 역학을 포함하도록 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 드라이버에 제곱형 성장과 제도 전환 상호작용 항이 포함된 적절한 조건 하에서, 에르고딕 BSDE 시스템은 유일한 유계 해를 가진다.
• 에르고딕 BSDE 시스템의 해는 고전적 유용성 최적화 문제에서 가치 함수의 장기 성장률을 특성화하며, 확률적 제어와 전방 성과 과정을 연결한다.
• 해 성분은 최대 선형 성장을 보이며, 이는 유한한 시간 수평선에서의 안정성과 수렴성을 보장한다.
• 다른 제어에 대응하는 두 해 간의 차이는 시간이 무한히 흐를수록 0으로 수렴하며, 이는 에르고딕 극한에서의 유일성을 암시한다.
• 모멘트 및 결합 추정을 통해, 초기 상태의 변화에 대한 편향이 있을 경우 해가 지수적으로 감쇠됨을 보여주며, 이는 안정성과 내진성의 확인이다.
• 이 프레임워크를 통해 에르고딕 BSDE 시스템의 해를 이용하여 제도 전환 시장에서의 마코프 전방 성과 과정을 구성할 수 있다.