[논문 리뷰] Taming singular stochastic differential equations: A numerical method

Khoa Lê, Chengcheng Ling|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 36인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 적분 가능한 드리프트가 레이디젠스카야–프로디–세린 조건을 만족하고, 균일 타원적이고 허더 연속적인 분산 계수를 갖는 다차원 시간 비균일 SDE에 대해 안정화된 오일러–마루야마 스킴을 제안한다. 적절한 드리프트 근사 하에 강한 수렴 속도가 $1/2$에 해당하며 로그 인자와 함께 도출되며, 이는 특이 SDE 및 확률적 운반 방정정식의 수치적 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider a generic and explicit tamed Euler--Maruyama scheme for multidimensional time-inhomogeneous stochastic differential equations with multiplicative Brownian noise. The diffusive coefficient is uniformly elliptic, Hölder continuous and weakly differentiable in the spatial variables while the drift satisfies the strict Ladyzhenskaya--Prodi--Serrin condition, as considered by Krylov and Röckner (2005). In the discrete scheme, the drift is tamed by replacing it by an approximation. A strong rate of convergence of the scheme is provided in terms of the approximation error of the drift in a suitable and possibly very weak topology. A few examples of approximating drifts are discussed in detail. The parameters of the approximating drifts can vary and -- under suitable conditions -- be fine-tuned to achieve a strong convergence rate which is arbitrarily close to the benchmark $0.5$ rate. The result is then applied to provide numerical solutions for stochastic transport equations with singular vector fields satisfying the aforementioned condition.

연구 동기 및 목표

• 지속적으로 국소적으로 유계가 아니지만 적분 가능한 드리프트를 갖는 SDE에 대해 수치적으로 안정적이고 수렴하는 스킴을 개발하는 것.
• 균일 타원적 분산 계수를 갖는 일반적인 경우에서 레이디젠스카야–프로디–세린 조건 하에 SDE의 강한 수렴 속도에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 특이 벡터장에 의해 유도되는 확률적 운반 방정식의 수치적 근사 프레임워크를 제공하는 것.
• 약한 위상에서 드리프트 근사 오차의 관점에서 수렴 속도를 확립하여, 다양한 유연하고 정밀한 수치적 스킴을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 특이성을 피하기 위해 드리프트를 근사치 $b^n$으로 대체하는 안정화된 오일러–마루야마 스킴을 제안한다.
• 시간 이산화된 스킴을 사용하며, 계수는 조각별로 일정하다: $dX_t^n = b^n(t, X_{k_n(t)}^n)dt + \sigma(t, X_{k_n(t)}^n)dB_t$, 이는 안정성을 보장한다.
• 절단 $b^n_r(x) = b_r(x)\mathbf{1}_{(|b_r(x)| \leq Cn^\chi \|b_r\|_{L_p})}$ 및 가우시안 커널과의 컨볼루션 $p_{1/n^\chi} * b_r(x)$ 등의 근사 기법을 활용한다.
• 노이즈에 의한 정규화와 증명을 위한 조즈킨 변환(Zvonkin’s transformation)을 적용하여 특이 드리프트의 영향을 분석에서 통제한다.
• 경로 기반 추정과 진짜 해와 근사 해 간 오차 통제를 위해 확률적 실링(stochastic sewing) 및 정량적 카스민스키의 보조정리(quantitative Khasminskii’s lemma)를 사용한다.
• 약한 $L^p$-유형 위상에서 드리프트의 근사 오차에 따라 오차를 유계화함으로써 강한 $L^2$-의미에서 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지속적으로 국소적으로 유계가 아니지만 적분 가능한 드리프트를 갖는 SDE에 대해 안정적이고 수렴하는 수치적 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 레이디젠스카야–프로디–세린 조건 하에서 안정화된 오일러–마루야마 스킴이 달성할 수 있는 최적의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 드리프트 근사 방법(절단, 컨볼루션)의 선택이 스킴의 수렴 속도와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이 스킴은 특이 벡터장을 갖는 확률적 운반 방정식을 해결하는 데로 확장될 수 있는가?
• RQ5 드리프트 근사의 약한 위상이 수치적 스킴의 수렴 속도 결정에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 적절한 근사 매개변수 조정 하에 안정화된 오일러–마루야마 스킴은 로그 인자를 동반한 강한 수렴 속도 $1/2$를 달성한다.
• 수렴 속도는 약한 $L^p$-유형 위상에서 드리프트 근사 오차에 따라 유도되며, 다양한 근사 스킴의 사용을 가능하게 한다.
• 절단 및 정규화된 드리프트 근사(예: 가우시안 커널과의 컨볼루션)는 매개변수를 정밀하게 조정할 경우 동일한 수렴 속도를 보인다.
• 이 방법은 레이디젠스카야–프로디–세린 조건을 만족하는 특이 벡터장을 갖는 확률적 운반 방정식에 적용 가능하다.
• 분석은 확률적 실링, 조즈킨 변환, 정량적 카스민스키의 보조정리와 같은 고급 도구를 활용하여 특이 드리프트의 영향을 통제한다.
• 이 결과는 적분 가능한 드리프트를 갖는 SDE의 수치 해석 분야에서 열려 있던 문제를 해결하며, 다수준 몬테카를로 응용에 실용적인 방법을 제공한다.