[논문 리뷰] Tensor categories for vertex operator superalgebra extensions

Thomas Creutzig, Shashank Kanade외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 142인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 정점 연산자 초대수(VOA) 이론의 방법을 확장하여 정점 연산자 초대수(VOSA)에 대한 텐서 범주 프레임워크를 수립한다. 초대수 확장을 위한 엄밀한 범주적 구조를 도입하여, 적절한 조건 하에서 이러한 확장의 모듈 범주가 잘 정의되고, 뚜렷하며 브레드 텐서 범주로서의 성질을 갖는다는 것을 증명함으로써, VOAs의 핵심 결과들을 초대수 구조로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $V$ be a vertex operator algebra with a category $\mathcal{C}$ of (generalized) modules that has vertex tensor category structure, and thus braided tensor category structure, and let $A$ be a vertex operator (super)algebra extension of $V$. We employ tensor categories to study untwisted (also called local) $A$-modules in $\mathcal{C}$, using results of Huang-Kirillov-Lepowsky showing that $A$ is a (super)algebra object in $\mathcal{C}$ and that generalized $A$-modules in $\mathcal{C}$ correspond exactly to local modules for the corresponding (super)algebra object. Both categories, of local modules for a $\mathcal{C}$-algebra and (under suitable conditions) of generalized $A$-modules, have natural braided monoidal category structure, given in the first case by Pareigis and Kirillov-Ostrik and in the second case by Huang-Lepowsky-Zhang. Our main result is that the Huang-Kirillov-Lepowsky isomorphism of categories between local (super)algebra modules and extended vertex operator (super)algebra modules is also an isomorphism of braided monoidal (super)categories. Using this result, we show that induction from a suitable subcategory of $V$-modules to $A$-modules is a vertex tensor functor. We give two applications. First, we derive Verlinde formulae for regular vertex operator superalgebras and regular $(1/2)\mathbb{Z}$-graded vertex operator algebras by realizing them as (super)algebra objects in the vertex tensor categories of their even and $\mathbb{Z}$-graded components, respectively. Second, we analyze parafermionic cosets $C=\mathrm{Com}(V_L,V)$ where $L$ is a positive definite even lattice and $V$ is regular. If the category of either $V$-modules or $C$-modules is understood, then our results classify all inequivalent simple modules for the other algebra and determine their fusion rules and modular character transformations. We illustrate both directions with several examples.

연구 동기 및 목표

• 정점 연산자 대수(VOA)에서의 텐서 범주 이론을 정점 연산자 초대수(VOSA)로 확장하는 것.
• 대표 이론적 방법을 사용하여 VOSA의 확장을 다룰 수 있는 범주적 프레임워크를 개발하는 것.
• 적절한 조건 하에서 VOSA 확장의 모듈 범주가 뚜렷하고 브레드 텐서 범주임을 증명하는 것.
• 특히 모듈 범주와 융합 규칙에 관해, VOAs의 기존 결과를 초대수 구조로 일반화하는 것.

제안 방법

• VOA의 상호작용 연산자와 융합 규칙의 형식적 체계를 초대수적 맥락으로 확장한다.
• 초대수 확장을 사용하여, 쌍대 및 텐서 연산에 대해 닫혀 있는 모듈의 범주를 정의한다.
• 로그형 및 일반형 모듈 이론을 적용하여 프로젝티브 생성자와 쌍대 대상을 확보한다.
• 텐서 범주에서의 결합법칙 및 교환법칙 동형사상의 초대수적 동반체를 도입한다.
• 브레딩을 정의하기 위해 초대수적 변환의 개념을 활용한다.
• 초대수적 맥락에서 텐서 범주의 공리, 특히 뚜렷성과 모듈러성 등을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VOA의 텐서 범주 구조는 어떻게 정점 연산자 초대수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 VOSA 확장의 모듈 범주가 뚜렷하고 브레드일 조건은 무엇인가?
• RQ3 초대수적 상호작용 연산자는 VOAs에서의 상호작용 연산자의 역할을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 VOSA 모듈의 융합 규칙에서 초대수적 브레딩의 역할은 무엇인가?
• RQ5 VOSA 확장의 모듈 범주의 텐서 범주가 모듈러 텐서 범주임을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 확장 조건이 적합성 및 정규성 조건을 만족할 경우, VOSA 확장의 모듈 범주는 잘 정의되고, 뚜렷하며 브레드 텐서 범주로 구성된다.
• 초대수적 브레딩 동형사상은 초대수적 상호작용 연산자를 사용하여 명시적으로 구성되며, 육각 공리(axioms)를 만족한다.
• 범주는 프로젝티브 생성자와 쌍대 대상을 지원하여 뚜렷성을 보장한다.
• 모듈 범주의 융합 규칙은 VOAs의 경우와 동일한 조합 구조를 따르지만, 초대수적 구조에서 유도된 부호의 계급화가 포함된다.
• 기존 VOAs의 텐서 범주 프레임워크를 초대수적 경우로 일반화하는 결과를 도출하였으며, 이는 초대수적 맥락에서의 위상적 장 이론과 초등장 이론의 기초를 제공한다.