[논문 리뷰] Théorie de la réduction pour les groupes p-divisibles

L Fargues|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 24.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $p$-adic 필드 위의 $p$-divisible group에 대한 Harder-Narasimhan 필터링 이론을 수립하고, Rapoport-Zink 공간과 $p$-adic Shimura 다양체의 주기 사상의 기하학에 적용한다. 핵심 결과는 Rapoport-Zink 공간의 일반점에서 de Rham 주기 사상 $\pi_{dR}$의 상이 적합한 열린 도메인 $\mathcal{F}^a$와 일치하고, 반안정성 부분에선 준유한( quasi-finite)이며, 안정성 부분에선 자연스러운 단면을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

Starting from our work on Harder-Narasimhan filtrations of finite flat group schemes over a $p$-adic field, we developp a theory of Harder-Narasimhan filtrations for $p$-divisible groups. We apply this to the study of the geometry of period morphisms for Rapoport-Zink spaces and to the $p$-adic geometry of Shimura varieties. We define and study in particular some fundamental domains for the action of Hecke correspondences.

연구 동기 및 목표

• 유한 평탄 군 스킴에서의 Harder-Narasimhan 이론을 $p$-adic 필드 위의 $p$-divisible group으로 확장하기.
• 이 필터링 이론을 활용하여 Rapoport-Zink 공간의 주기 사상의 기하학을 연구하기.
• $p$-adic Shimura 다양체에서 Hecke 대응의 기본 영역을 정의하고 분석하기.
• 코homology에 응용 가능한 $p$-adic 버전의 Griffiths 주기 사상 수립하기.

제안 방법

• 모든 $n \geq 1$에 대해 $H[p^n]$의 다각형을 재정규화하여 $p$-divisible group에 대한 정규화된 Harder-Narasimhan 다각형을 도입한다.
• 반안정성 $p$-divisible group과 HN 유형의 $p$-divisible group을 정의하며, 이는 $p^n$-torsion 부분군의 HN 필터링이 일致함을 의미한다.
• 주어진 $p$-divisible group과 동형인 HN 유형의 $p$-divisible group을 유한 시간 내에 수렴하는 내림차순 알고리즘을 구축한다.
• 비정규화된 HN 다각형을 $H[p^n]$의 다각형들의 상한으로 정의하고, 이들의 극한 기울기가 정규화된 다각형의 첫 번째 기울기와 일치함을 보인다.
• 이 이론을 Rapoport-Zink 공간의 일반점에 적용하여, 주기 사상 $\pi_{dR}$가 반안정성 부분에선 $\mathcal{F}^a$로 전사함을 증명한다.
• 다이아몬드 이론 기법을 사용하여 비반안정성 HN 스타트를 $P_\nu(\mathbb{Q}_p)$-작용에 의한 포물선 유도로 기술한다. 이때 $T_\nu$는 다이아몬드이며, $S_\infty^{\mathrm{HN}=\nu} \cong T_\nu \times_{\underline{P_\nu(\mathbb{Q}_p)}} \underline{G(\mathbb{Q}_p)}$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Rapoport-Zink 공간의 일반점에서의 주기 사상 $\pi_{dR}$는 적합한 열린 도메인 $\mathcal{F}^a$로 전사하는가?
• RQ2 $\pi_{dR}$의 반안정성 부분에 대한 제약은 준유한인가?
• RQ3 주기 사상은 안정성 부분에 자연스러운 단면을 갖는가?
• RQ4 비반안정성 HN 스타트는 플래그 다양체에서 리 대칭군의 부분군으로부터 포물선적으로 유도되는가?
• RQ5 Hodge-Newton 분해 하에 $\mathrm{Gr}_{\mathrm{B}_{dR}}^{\leq \mu}$에서 HN 분해와 뉴턴 분해가 일치하는가?

주요 결과

• 주기 사상 $\pi_{dR}$에 의한 반안정성 부분 $\mathcal{M}_\eta^{ss}$의 상은 정확히 적합한 열린 도메인 $\mathcal{F}^a$와 일치하며, 전사성의 증명이 된다.
• 제약 $\pi_{dR|\mathcal{M}_\eta^{ss}/p^\mathbb{Z}}$는 준유한이며, 이는 섬유가 유한하고 에탈임을 의미한다.
• 안정성 부분 $\mathcal{M}_\eta^s$에서 주기 사상 $\pi_{dR}$는 자연스러운 단면을 가지며, $\mathcal{M}_\eta^s/p^\mathbb{Z}$를 $\mathcal{F}^a$의 닫힌 부분다양체로 매장시는 것을 가능하게 한다.
• 비정규화된 HN 다각형의 한계 기울기는 정규화된 HN 다각형의 첫 번째 기울기와 일치하며, 두 구성 간의 연결 고리를 제공한다.
• 비반안정성 HN 스타트는 다이아몬드 $T_\nu$ 위에서의 $P_\nu(\mathbb{Q}_p)$-작용에 의한 포물선 유도로 표현되며, $S_\infty^{\mathrm{HN}=\nu} \cong T_\nu \times_{\underline{P_\nu(\mathbb{Q}_p)}} \underline{G(\mathbb{Q}_p)}$이다.
• 추측: $\mathrm{Gr}_{\mathrm{B}_{dR}}^{\leq \mu}$에서 HN 분해와 뉴턴 분해가 일치하는 것은 $B(G, \mu^{-1})$가 완전히 Hodge-Newton 분해 가능할 때이다.