[논문 리뷰] Fully Hodge-Newton decomposable Shimura varieties

Ulrich Goertz, Xuhua He외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 55인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 Hodge-Newton 분해 가능성을 만족하는 조건 하에, 애फ인 델 브리지-루스티그 다양체와 라파포르트-징 공간에 대해 Hodge-Newton 분해를 수립한다. 슈임라 다양체에 대해 기본 근원은 EKOR 계층의 합집합으로 단순한 기술을 갖는다. 이는 모든 비기본 뉴턴 계층이 유한하거나 특정 계층화 호환 조건을 만족할 때에만 성립한다. 핵심 결과는 이러한 성질이 파라호릭 레벨 구조의 선택과 무관하다는 것이다. 이는 이전 결과를 준-스플릿 또는 하이퍼스페셜 케이스를 초월하여 일반화한 것이다.

ABSTRACT

The motivation for this paper is the study of arithmetic properties of Shimura varieties, in particular the Newton stratification of the special fiber of a suitable integral model at a prime with parahoric level structure. This is closely related to the structure of Rapoport-Zink spaces and of affine Deligne-Lusztig varieties. We prove a Hodge-Newton decomposition for affine Deligne-Lusztig varieties and for the special fibres of Rapoport-Zink spaces, relating these spaces to analogous ones defined in terms of Levi subgroups, under a certain condition (Hodge-Newton decomposability) which can be phrased in combinatorial terms. Second, we study the Shimura varieties in which every non-basic $σ$-isogeny class is Hodge-Newton decomposable. We show that (assuming the axioms of \cite{HR}) this condition is equivalent to nice conditions on either the basic locus, or on all the non-basic Newton strata of the Shimura varieties. We also give a complete classification of Shimura varieties satisfying these conditions. While previous results along these lines often have restrictions to hyperspecial (or at least maximal parahoric) level structure, and/or quasi-split underlying group, we handle the cases of arbitrary parahoric level structure, and of possibly non-quasi-split underlying groups. This results in a large number of new cases of Shimura varieties where a simple description of the basic locus can be expected. As a striking consequence of the results, we obtain that this property is independent of the parahoric subgroup chosen as level structure. We expect that our conditions are closely related to the question whether the weakly admissible and admissible loci coincide.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 파라호릭 레벨 구조와 준-스플릿이 아닌 군에 대해 Hodge-Newton 분해를 일반화한다.
• 기본 근원이 EKOR 계층의 합집합으로 단순히 기술될 수 있는 슈임라 다양체를 특성화한다.
• 이 성질이 파라호릭 부분군의 선택과 무관하다는 것을 보인다.
• 기본 근원의 구조와 비기본 뉴턴 계층의 유한성 및 계층화 행동 간의 관계를 규명한다.
• Hodge-Newton 분해 가능성 조건과 주기 도메인 내 약한 적합성 및 적합성 영역의 일치 사이의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 코캐릭터와 파라호릭 부분군에 대한 조합 조건을 사용하여, 애프린 델 브리지-루스티그 다양체와 라파포르트-징 공간에 대해 군론적 Hodge-Newton 분해를 수립한다.
• 브라우트-티츠 빌딩의 구조와 군 J_b의 작용을 이용하여, 유한체 위의 다양체의 궤도와 차원을 분석한다.
• EKOR 계층과 뉴턴 계층의 이론을 적용하여, 슈임라 다양체의 기하학을 리브이 부분군과 그에 관련된 다양체와 연결한다.
• 루프 군의 성질과 유한체 작용을 이용하여, 애프린 델 브리지-루스티그 다양체의 차원이 0임과 J_b-궤도 집합의 유한성 간의 동치를 증명한다.
• 비기본 뉴턴 계층의 잎의 유한성과 EKOR 계층이 단일 뉴턴 계층에 포함됨을 연결하는 가환 다이어그램을 통해 동치를 설정한다.
• 슈임라 자료의 공리들을 사용하여, EKOR 계층과 뉴턴 계층의 교차가 애프린 델 브리지-루스티그 다양체의 비어 있지 않은 성질과 관련됨을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에 슈임라 다양체의 기본 근원이 EKOR 계층의 합집합으로 단순한 기술을 갖는가?
• RQ2 Hodge-Newton 분해 가능성 조건은 비기본 뉴턴 계층의 유한성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 기본 근원이 단순한 기술을 갖는다는 성질은 파라호릭 레벨 구조의 선택과 무관한가?
• RQ4 Hodge-Newton 분해 가능성 조건은 주기 도메인 내 약한 적합성 영역과 적합성 영역의 일치와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Hodge-Newton 조건 하에서 리브이 부분군을 이용해 애프린 델 브리지-루스티그 다양체와 라파포르트-징 공간의 기하학을 어떻게 분해할 수 있는가?

주요 결과

• Hodge-Newton 분해 가능성 조건이 성립할 경우, 애프린 델 브리지-루스티그 다양체와 라파포르트-징 공간에 대해 Hodge-Newton 분해가 성립하며, 이 조건은 조합론적 언어로 기술된다.
• F 위의 군 G가 준단순일 경우, 모든 비기본 뉴턴 계층이 유한함, EKOR 계층이 단일 뉴턴 계층에 포함됨, 기본 근원이 EKOR 유형임의 세 조건은 상호 동치이다.
• 이 동치 조건의 성립 여부는 파라호릭 부분군 K의 선택과 무관하며, 오직 슈임라 자료 (G, {μ})에 의존한다.
• 애프린 델 브리지-루스티그 다양체 X(μ,b)_K의 차원이 0임은 J_b-궤도의 k-점 집합의 유한성과 동치이다.
• X_w(b)의 비어 있지 않음은 EKOR_{K,w}와 뉴턴 계층 S_{K,[b]}의 교차가 비어 있지 않음과 동치이다.
• EKOR_{K,w} 계층이 단일 뉴턴 계층에 포함됨은, 그에 대응하는 애프린 델 브리지-루스티그 다양체 X_w(b)가 그 계층 내 어떤 b에 대해서도 비어 있지 않은 경우에만 성립한다.