[논문 리뷰] The asymptotics of the analytic torsion on CR manifolds with $S^1$ action

Chin-Yu Hsiao, Rung-Tzung Huang|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 24.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 강한 슈퍼볼록한 CR 다양체 위에 수직인 CR $S^1$-작용을 지닌 컴act, 강한 슈퍼볼록한 CR 다양체에서의 해석적 토포로지 성분에 대한 渐近 공식을 수립한다. 열핵 및 스펙트럼 방법을 통해 Bismut과 Vasserot의 양성 선다발 위에서의 헬름홀로지 토포로지에 대한 渐近 공식을 CR 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected strongly pseudoconvex CR manifold of dimension $2n+1, n \ge 1$ with a transversal CR $S^1$-action on $X$. We introduce the Fourier components of the Ray-Singer analytic torsion on $X$ with respect to the $S^1$-action. We establish an asymptotic formula for the Fourier components of the analytic torsion with respect to the $S^1$-action. This generalizes the asymptotic formula of Bismut and Vasserot on the holomorphic Ray-Singer torsion associated with high powers of a positive line bundle to strongly pseudoconvex CR manifolds with a transversal CR $S^1$-action.

연구 동기 및 목표

• 복소다양체 위의 양성 선다발에서 이전에 알려진 헬름홀로지 해석적 토포로지에 대한 渐近 공식을 강한 슈퍼볼록한 CR 다양체와 수직인 $S^1$-작용의 설정으로 확장하기.
• 스펙트럼 이론을 사용하여 이러한 CR 다양체 위에서 Ray-Singer 해석적 토포로지의 푸리에 성분을 정의하고 분석하기.
• 고중량 극한에서 해석적 토포로지에 대한 渐近 전개를 수립하여 복소기하학의 경우와 유사하게 만들기.
• 복소오비폭드 위에 올라간 원다발로 나타나는 CR 다양체에서 해석적 토포로지를 연구하기 위한 프레임워크를 제공하며, 일반 오비폭드 방법에 비해 더 매끄러운 대안을 제시하기.

제안 방법

• CR 다양체 $X$ 위의 미분형식에 대한 $S^1$-작용에 따른 푸리에 분해를 도입하여, $S^1$-작용의 무한소 생성자 $T$의 $m$-번째 고유공간으로서 $\Omega^{0,\bullet}_m(X)$를 정의한다.
• CR 도르불 복합체에서의 $X$와 기저 복소다양체 $M$ 위의 고차 선다발 $L^m$ 값을 가진 도르불 복합체 사이의 자연스러운 동형사상 $A_m: \Omega^{0,\bullet}_m(X) \to \Omega^{0,\bullet}(M, L^m)$을 수립한다.
• 열핵 방법을 사용하여 $X$ 위의 코흐른 라플라스 연산자 $\Box_{b,m}$의 스펙트럼 성질을 분석하고, 이동사상 $A_m$을 활용하여 $M$ 위의 코다이라 라플라스 연산자 $\Box_m$과 관련지운다.
• 스펙트럼 제타 함수 기법을 사용하여 열연산자 초트레이스의 멜린 변환을 통해 해석적 토포로지의 渐近 전개를 유도한다.
• 열핵 전개 및 곡률 트레이스 항등식을 적용하여, 곡률 형식 $R^L$과 CR 구조의 리치 곡률 $\dot{\mathcal{R}}$를 포함하는, 渐近 공식의 주요 항을 계산한다.
• 리만 제타 함수와 그 도함수를 사용하여 제로에서의 스펙트럼 제타 함수를 평가하고, 최종적으로 $\log \det(\frac{m \dot{R}^L}{2\pi})$를 포함하는 渐近 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수직인 $S^1$-작용을 지닌 CR 다양체에서 고중량 푸리에 성분에 대한 해석적 토포로지의 행동은 어떻게 渐近적으로 나타나는가?
• RQ2 양성 선다발 위에서의 헬름홀로지 토포로지에 대한 Bismut-Vasserot의 渐近 공식은 CR 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 이러한 CR 다양체에서 해석적 토포로지의 渐近 전개에서 정확한 주요 항은 무엇인가?
• RQ4 CR 다양체의 곡률 및 스펙트럼 자료는 토포로지의 渐近 행동에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 수직인 $S^1$-작용을 지닌 컴팩트하고 강한 슈퍼볼록한 CR 다양체에서의 해석적 토포로지 성분에 대한 渐近 공식을 유도하였으며, 이는 무게 $m \to \infty$일 때 유효하다.
• 渐近 전개의 주요 항은 $\frac{\operatorname{rk}F}{2} \int_M \log\left(\det\left(\frac{m\dot{R}^L}{2\pi}\right)\right) e^{m\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}R^L} + o(m^n)$로 주어지며, 복소기하학의 경우의 Bismut-Vasserot 공식과 일치한다.
• 스펙트럼 제타 함수 $\widetilde{\zeta}(z)$는 곡률 연산자 $\dot{\mathcal{R}}$와 리만 제타 함수로 표현되며, 이는 $\zeta(0) = -1/2$ 및 $\zeta'(0) = -\frac{1}{2}\log(2\pi)$를 사용하여 $\widetilde{\zeta}'(0)$의 평가를 가능하게 한다.
• 해석적 토포로지가 열핵 트레이스의 $S^1$-불변 부분과 동치임을 보였으며, 토포로지의 $m$-번째 푸리에 성분은 기저 다양체 위의 $L^m$-왜곡 도르불 코homology에 대응한다.
• 곡률 항 $\dot{R}^L$은 접촉 분포 위에 제한된 레비 형식에서 유래하며, 토포로지의 로그 보정 항에 그 결정행렬이 나타난다.
• 결과는 CR 다양체 $X$ (원다발) 위의 해석적 토포로지가 기저 복소다양체 $M$ 위의 알려진 헬름홀로지 토포로지를 재현함을 확인하며, CR 기하학과 복소기하학 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다.