[논문 리뷰] The C 1+ hypothesis in Pesin theory revisited

Christian Bonatti, Sylvain Crovisier외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 컴act 3차원 다양체에서 C¹ 미분구상의 공간의 일반적인 열린 부분집합이, 서로소이고 초구형이며, 당김 및 밀림 주변을 갖는 비가산 많은 수의 에르고딕 측도를 지지함을 보여준다. 핵심적으로 이러한 측도의 지지집합에 속한 점들은 안정 및 불안정 다양체를 갖지 못함—고전적 페신 이론과는 뚜렷이 대조되며, 이는 더 높은 정규성(C² 또는 그 이상)에서 이러한 다양체의 존재를 보장함.

ABSTRACT

We show that for every compact 3-manifold M there exists an open subset of Diff 1 (M) in which every generic diffeomorphism admits uncountably many ergodic probability measures which are hyperbolic while their supports are disjoint and admit a basis of attracting neighborhoods and a basis of repelling neighborhoods. As a consequence, the points in the support of these measures have no stable and no unstable manifolds. This contrasts with the higher regularity case, where Pesin theory gives us the stable and the unstable manifolds with complementary dimensions at almost every point. We also give such an example in dimension two, without local genericity.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 3차원 다각체에서 C¹ 위상에서의 에르고딕 측도의 행동을 조사하기 위해.
• 더 높은 정규성의 부재에서 일반적인 C¹ 미분구상에서 안정 및 불안정 다각체의 존재 여부를 판단하기 위해.
• 초구형 측도의 지지집합이 서로소이며, 동시에 당김 및 밀림 주변을 갖는 예를 구성하기 위해.
• C¹ 경우와 더 높은 정규성 경우를 대비하여, 페신 이론이 안정 및 불안정 다각체의 존재를 보장하는 바를 분석하기 위해.

제안 방법

• C¹ 위상에서의 일반성 개념을 활용하여, 원하는 동역학적 성질을 갖는 Diff¹(M)의 열린 부분집합을 식별하기 위해.
• 서로소 지지집합을 갖는 비가산 많은 수의 초구형이며 에르고딕 확률 측도를 구성하기 위해.
• 이러한 측도의 지지집합이 동시에 당김 주변과 밀림 주변의 기저를 갖음을 보여주어 국소적인 안정 또는 불안정 다각체가 존재하지 않음을 시사하기 위해.
• 지지집합의 구조와 그들의 동역학적 행동을 분석하기 위해 위상수학적 및 측도론적 기법을 적용하기 위해.
• 결과를 2차원으로 확장하되, 국소적 일반성은 없이, 더 넓은 적용 가능성을 보여주기 위해.
• C¹에서 페신 이론의 실패를 활용하여 일반적인 점들에서 안정/불안정 다각체의 존재에 대한 반례를 구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C¹ 위상에서 3차원 다각체에서 비가산 많은 수의 서로소 초구형 에르고딕 측도가 존재할 수 있는가?
• RQ2 이러한 측도의 지지집합에 속한 점들이 초구형인데도 불구하고 안정 및 불안정 다각체를 갖지 못하는가?
• RQ3 C² 정규성의 부재가 C¹ 설정에서 고전적 페신 이론의 타당성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이러한 예는 국소적 일반성이 없더라도 2차원에서 구성될 수 있는가?
• RQ5 이러한 측도의 지지집합은 어떤 위상적 및 동역학적 성질을 갖는가?

주요 결과

• 모든 컴팩트 3차원 다각체 M에 대해, Diff¹(M)의 열린 부분집합이 존재하여, 이 집합의 일반적인 미분구상은 서로소 지지집합을 갖는 비가산 많은 수의 초구형 에르고딕 측도를 지지함.
• 이러한 측도의 지지집합은 동시에 당김 주변의 기저와 밀림 주변의 기저를 갖으며, 국소적인 안정 또는 불안정 역학이 존재하지 않음을 시사함.
• 이러한 측도의 지지집합에 속한 점들은 안정 또는 불안정 다각체를 갖지 않으며, 이는 페신 이론의 예측과 정면으로 배치됨.
• 구성은 2차원으로 확장되나, 3차원 사례에서 관찰된 국소적 일반성은 없음.
• 결과는 조건이 C¹일 경우 고전적 안정 다각체 이론이 근본적으로 붕괴됨을 드러냄.
• 일반적인 점들에서 안정 및 불안정 다각체의 존재 실패는 부드러운 에르고딕 이론에서 C¹과 더 높은 미분가능도 계열 간의 핵심적 차이를 강조함.